Czy pojemność to objętość? Litry, dm³ i zamiana jednostek na maturze

Tak, pojemność to objętość, tylko liczona dla wnętrza naczynia: mówi, ile cieczy albo gazu zmieści się w środku. Dlatego pojemność podajesz w litrach i mililitrach, a objętość zwykle w jednostkach sześciennych, przy czym $1\ \text{l} = 1\ \text{dm}^3$ i $1\ \text{ml} = 1\ \text{cm}^3$. Na maturze z matematyki pojemność naczynia liczysz dokładnie tymi samymi wzorami co objętość bryły, a cała trudność leży w zamianie jednostek.

Pojemność a objętość: czym się różnią

Obie wielkości dotyczą przestrzeni, więc w wielu zadaniach z działu Stereometria używa się ich zamiennie. Różnica jest w tym, czego dotyczą. Objętość to ilość miejsca, które zajmuje bryła: sześcian z drewna, metalowa kula, stożek z plasteliny. Pojemność to ilość miejsca w środku naczynia, czyli objętość tej części, którą da się napełnić wodą, piaskiem albo powietrzem.

Weź kubek z grubymi ściankami. Objętość kubka jako przedmiotu to objętość samej ceramiki. Pojemność kubka to objętość pustego wnętrza, które wypełnia herbata. Te dwie liczby są różne i żadna z nich nie jest „lepsza”: zależy, o co pyta zadanie.

Policz to na prostym pudełku. Zamknięte pudełko w kształcie sześcianu ma krawędź zewnętrzną $10\ \text{cm}$, a każda ścianka ma grubość $1\ \text{cm}$. Wnętrze ma więc krawędź $10 - 2 \cdot 1 = 8\ \text{cm}$, bo grubość ścianki odejmujesz z obu stron.

Bryła zewnętrzna ma objętość $10^3 = 1000\ \text{cm}^3$, więc sam materiał ścianek zajmuje $1000 - 512 = 488\ \text{cm}^3$. Pojemność pudełka to $512\ \text{ml}$, a nie $1\ \text{l}$, choć z zewnątrz wygląda na litrowe.

Jest jeszcze jedno źródło pomyłek, które trafiło na listę najczęstszych błędów na maturze z matematyki: pojemność nie ma nic wspólnego z polem powierzchni. Pole powierzchni mówi, ile farby albo papieru potrzeba na obłożenie bryły z zewnątrz (jednostki kwadratowe, np. $\text{cm}^2$). Pojemność mówi, ile się zmieści w środku (jednostki sześcienne albo litry). Jeśli w odpowiedzi do pytania o litry wychodzi ci wynik w $\text{cm}^2$, coś poszło nie tak już przy wyborze wzoru.

Jednostki objętości i pojemności

Jednostki sześcienne powstają z jednostek długości: $1\ \text{cm}^3$ to objętość sześcianu o krawędzi $1\ \text{cm}$, a $1\ \text{dm}^3$ to objętość sześcianu o krawędzi $1\ \text{dm}$. Jednostki pojemności (litr, mililitr, hektolitr) to nazwy nadane wybranym jednostkom sześciennym, żeby łatwiej mówić o płynach. Litr jest po prostu inną nazwą decymetra sześciennego.

Druga tabela pokazuje same jednostki sześcienne. Każdy krok w dół mnoży liczbę przez 1000, każdy krok w górę dzieli ją przez 1000.

Z tych dwóch tabel wynikają wszystkie przeliczenia, których potrzebujesz w zadaniach. Butelka $1{,}5\ \text{l}$ to $1500\ \text{cm}^3$. Wanna o pojemności $200\ \text{l}$ to $0{,}2\ \text{m}^3$. Strzykawka $5\ \text{ml}$ to $5\ \text{cm}^3$.

Rzadziej spotkasz hektolitry i milimetry sześcienne. Hektolitr to $100\ \text{l}$, więc beczka na $2\ \text{hl}$ mieści $200\ \text{l}$, czyli $0{,}2\ \text{m}^3$. Milimetry sześcienne przydają się przy bardzo małych przedmiotach: kropla o objętości $50\ \text{mm}^3$ to $0{,}05\ \text{cm}^3$, czyli $0{,}05\ \text{ml}$. W obu przypadkach działa ta sama zasada: sąsiednie jednostki sześcienne różnią się tysiąc razy.

Dlaczego 1 m³ to 1000 litrów, a nie 100

Bo przelicznik długości działa w każdym z trzech wymiarów naraz. Metr to $10$ decymetrów. Sześcian o krawędzi $1\ \text{m}$ ma więc krawędź $10\ \text{dm}$, a jego objętość w decymetrach to:

Możesz to sobie wyobrazić dosłownie. Na dnie metrowego sześcianu zmieści się $10 \cdot 10 = 100$ litrowych kostek. Takich warstw ułożysz jedna na drugiej $10$, więc razem jest $1000$ kostek, czyli $1000$ litrów.

Ten sam mechanizm działa przy polu. Skoro $1\ \text{m} = 10\ \text{dm}$, to $1\ \text{m}^2 = 10^2\ \text{dm}^2 = 100\ \text{dm}^2$. Ogólna reguła brzmi tak:

• •przelicznik długości $k$ daje przelicznik pola $k^2$;
• •przelicznik długości $k$ daje przelicznik objętości $k^3$.

To dokładnie ta sama zależność, którą znasz z figur podobnych: gdy skala podobieństwa wynosi $k$, pola rosną $k^2$ razy, a objętości $k^3$ razy. Zamiana jednostek to po prostu podobieństwo o skali $10$, $100$ albo $1000$. Szerzej omawia to wpis o tym, jak skala podobieństwa zmienia pola i objętości.

Jak zamieniać jednostki krok po kroku

Masz dwie bezpieczne metody. Obie dają ten sam wynik, różnią się tylko tym, kiedy przeliczasz.

Metoda 1: przelicz wymiary przed liczeniem objętości. Zamieniasz każdą długość na decymetry, liczysz objętość i od razu masz wynik w litrach. To najprostsza droga, bo przeliczasz zwykłe długości, gdzie przelicznik to tylko $10$: $1\ \text{dm} = 10\ \text{cm}$, $1\ \text{m} = 10\ \text{dm}$.

Metoda 2: policz objętość w jednostkach z zadania i przelicz wynik. Liczysz objętość w $\text{cm}^3$ albo $\text{m}^3$, a potem korzystasz z tabeli: dzielisz przez $1000$ przy przejściu z $\text{cm}^3$ na litry, mnożysz przez $1000$ przy przejściu z $\text{m}^3$ na litry.

Kolejność działań w obu metodach wygląda tak:

1. 1.Wypisz wszystkie wymiary z zadania razem z jednostkami.
2. 2.Sprawdź, czy wszystkie są w tej samej jednostce, bo niespójność jednostek to klasyczny błąd rachunkowy. Jeśli promień jest w centymetrach, a wysokość w metrach, zamień jedno z nich, zanim cokolwiek podstawisz.
3. 3.Wybierz wzór na objętość bryły i podstaw wymiary.
4. 4.Zamień wynik na jednostkę, o którą pyta zadanie.
5. 5.Oceń sens wyniku: akwarium na $7000$ litrów albo wiadro na $0{,}1$ litra to sygnał błędu w przeliczeniu.

Punkt 5 jest ważniejszy, niż się wydaje. Znasz z życia rozmiary: butelka wody ma $0{,}5$ albo $1{,}5\ \text{l}$, wiadro około $10\ \text{l}$, wanna kilkaset litrów. Jeśli wynik nie pasuje do skali przedmiotu, wróć do kroku 2.

Zamiany jednostek przydają się także w zadaniach z przepływem: pompa tłoczy $x$ litrów na minutę, a ty liczysz czas napełnienia. Tam objętość odgrywa rolę drogi, a wydajność pompy rolę prędkości, więc działa ten sam wzór $t = \frac{V}{w}$, który znasz z zadań typu jak ułożyć równanie z prędkością, drogą i czasem.

Wzory

Na egzaminie możesz korzystać z tablic „Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki”, więc wzorów na objętość brył nie musisz wkuwać. Przelicznik litrów na decymetry sześcienne warto mieć w głowie, bo to on najczęściej decyduje o wyniku.

Teraz ty

Spróbuj sam podobnego zadania z jednostkami: z pola powierzchni sześcianu w $\text{cm}^2$ wyznacz jego objętość w $\text{cm}^3$.

Najczęstsze błędy przy zamianie jednostek

Większość punktów traconych w zadaniach o pojemności to nie zły wzór, tylko zła jednostka. Oto pomyłki, które powtarzają się najczęściej.

Przy walcu łatwo też pomylić promień ze średnicą. Zbiornik o średnicy $1\ \text{m}$ ma promień $0{,}5\ \text{m}$, a podstawienie $r = 1$ daje objętość cztery razy za dużą. Rozpisane przykłady z tą pułapką znajdziesz we wpisie o tym, jak obliczyć objętość walca i jego pole powierzchni.

Pojemność różnych brył: walec, stożek, graniastosłup

Kształt naczynia decyduje tylko o wzorze, a zamiana jednostek zostaje ta sama. Kilka wskazówek do najczęstszych kształtów:

• •Prostopadłościan i graniastosłup (akwarium, basen, pudełko): mnożysz pole podstawy przez wysokość. Przy graniastosłupie o podstawie trójkąta albo trapezu najpierw liczysz pole tej figury. Pełne omówienie daje wpis o tym, jak obliczyć objętość graniastosłupa.
• •Walec (puszka, beczka, zbiornik): $V = \pi r^2 h$. Gdy zadanie podaje średnicę, dzielisz ją przez $2$, zanim podniesiesz do kwadratu.
• •Stożek (lejek, kubek, kopiec piasku): $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Stożek o tej samej podstawie i wysokości co walec mieści trzy razy mniej. Wzory i zadania zebrano we wpisie o tym, jak obliczyć objętość stożka.
• •Ostrosłup (namiot, piramida): $V = \frac{1}{3} P_p h$, czyli trzecia część graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Przykłady z różnymi podstawami pokazuje wpis o tym, jak stosować wzór na objętość ostrosłupa.
• •Kula (zbiornik kulisty, piłka): $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Tu promień stoi w trzeciej potędze, więc błąd w jednostce promienia mnoży się aż $1000$ razy.

Porównanie, które często pojawia się w zadaniach: walec, stożek i półkula o tym samym promieniu $r$ i wysokości $h = r$. Walec ma objętość $\pi r^3$, półkula $\frac{2}{3}\pi r^3$, a stożek $\frac{1}{3}\pi r^3$. Ich pojemności mają się więc do siebie jak $3 : 2 : 1$. Wszystkie wzory obok siebie zebrano w tabeli wzorów na objętość i pole powierzchni brył.

Pojemność naczyń podobnych i naczynia napełnione częściowo

Gdy dwa naczynia mają ten sam kształt, a różnią się tylko rozmiarem, są bryłami podobnymi. Jeśli każdy wymiar większego naczynia jest $k$ razy większy, jego pojemność jest $k^3$ razy większa. To ta sama reguła co przy zamianie jednostek, tylko zamiast przelicznika jednostek masz skalę podobieństwa.

Przykład liczbowy: kubek mieści $250\ \text{ml}$. Kubek o tym samym kształcie, ale dwa razy wyższy i dwa razy szerszy, mieści $2^3 = 8$ razy więcej, czyli $8 \cdot 250 = 2000\ \text{ml} = 2\ \text{l}$, a nie $500\ \text{ml}$. Działa to też w drugą stronę: model zbiornika w skali $1 : 10$ mieści $10^3 = 1000$ razy mniej niż oryginał. Zbiornik z Przykładu 2 ma około $1570\ \text{l}$, więc jego model w tej skali mieści około $1{,}57\ \text{l}$.

Ta sama reguła wyjaśnia częsty problem z naczyniami napełnionymi częściowo. W naczyniu o stałym przekroju (prostopadłościan, walec stojący pionowo) woda do połowy wysokości to połowa pojemności, bo zmienia się tylko jeden wymiar. W stożku ustawionym wierzchołkiem w dół jest inaczej. Woda tworzy mniejszy stożek podobny do całego naczynia, a skala podobieństwa to stosunek wysokości.

Kieliszek w kształcie stożka napełniony do połowy wysokości zawiera więc tylko jedną ósmą swojej pojemności. Żeby był pełny w połowie objętości, woda musi sięgać na wysokość $\sqrt[3]{\frac{1}{2}} \approx 0{,}79$ całej wysokości.

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Każde z tych zadań wymaga policzenia objętości bryły: zapisz wynik z jednostką, a przy okazji przelicz go na mililitry albo litry. Więcej zadań tego typu z pełnymi rozwiązaniami znajdziesz w przeglądzie wzorów na objętość i pole powierzchni brył.

• Matura sie 20211 pkt
  Przekątna sześcianu jest równa $6$. Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa
• Matura prób. mar 20211 pkt
  Przekątna sześcianu ma długość $5\sqrt{3}$. Wtedy objętość tego sześcianu jest równa
• Matura sie 20161 pkt
  Dany jest walec, w którym promień podstawy jest równy $r$, a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa
• Matura cze 20141 pkt
  Objętość walca o promieniu podstawy $4$ jest równa $96\pi$. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe

Najczęstsze pytania