Kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa - jak obliczyć na maturze rozszerzonej (zadania z rozwiązaniami)

Kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa liczysz w trójkącie zbudowanym z dwóch wysokości ścian opuszczonych na ich wspólną krawędź. Z wierzchołka jednej ściany, który nie leży na tej krawędzi, prowadzisz wysokość na wspólną krawędź boczną, w drugiej ścianie robisz to samo, a kąt między tymi wysokościami jest szukanym kątem. W ostrosłupie prawidłowym obie wysokości mają tę samą długość $h$ i trafiają w ten sam punkt krawędzi, więc z twierdzenia cosinusów $\cos\alpha = 1 - \frac{d^2}{2h^2}$, gdzie $d$ to odległość wolnych wierzchołków obu ścian. To jeden z powracających tematów stereometrii na maturze rozszerzonej.

W bazie Sprawnej Matury ten typ zadania ma pięć wersji z arkuszy rozszerzonych CKE. W maju 2016 (zadanie 15) kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego miał $120^\circ$, a szukało się objętości. W maju 2025 (zadanie 10) dany był ujemny cosinus tego kąta, $-\frac{9}{25}$, a w maju 2026 (zadanie 8) trzeba go było obliczyć w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym. Wcześniej ten sam motyw pojawił się w maju 2010 i w maju 2015. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy i kąt nachylenia krawędzi masz rozpisane we wpisie kąt dwuścienny w ostrosłupie. Tutaj jest jeden temat: kąt między dwiema ścianami bocznymi.

Jak znaleźć kąt między dwiema ścianami bocznymi

Kąt między dwiema ścianami o wspólnej krawędzi to kąt między dwiema prostymi poprowadzonymi w tych ścianach prostopadle do wspólnej krawędzi, przez ten sam jej punkt. W praktyce bierzesz wierzchołek jednej ściany, który nie leży na wspólnej krawędzi, i prowadzisz z niego wysokość na tę krawędź. Spodek tej wysokości oznaczasz literą $E$.

Weź ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ i ściany $BCS$ oraz $CDS$. Ich wspólna krawędź to $SC$. W trójkącie $BCS$ prowadzisz wysokość z $B$ na $SC$, a w trójkącie $CDS$ wysokość z $D$ na $SC$. Ściany są przystające i leżą symetrycznie względem płaszczyzny $ACS$, więc obie wysokości trafiają w ten sam punkt $E$ i mają tę samą długość $h$. Szukany kąt to $\sphericalangle BED$.

Trzeci bok trójkąta $BED$ to przekątna podstawy, $|BD| = a\sqrt2$. Masz więc trójkąt równoramienny o ramionach $h$ i podstawie $d$, a kąt przy wierzchołku $E$ liczysz z twierdzenia cosinusów.

Wysokość $h$ najprościej policzyć z pola ściany. Ściana $BCS$ to trójkąt równoramienny o podstawie $a$ i ramionach $b$. Jego pole to $\frac12 a h_s$, gdzie $h_s$ jest wysokością ściany poprowadzoną z $S$ na $BC$, czyli apotemą ostrosłupa. To samo pole zapisujesz jako $\frac12 b h$, biorąc za podstawę krawędź $SC$. Porównanie daje $h = \frac{a h_s}{b}$.

Dlaczego ten kąt bywa rozwarty

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi jest zawsze rozwarty, czyli jego cosinus jest ujemny. Wynika to z jednej nierówności: wysokość $h$ jest krótsza od krawędzi podstawy $a$, więc $2h^2 < 2a^2 = d^2$, a licznik $2h^2 - d^2$ w twierdzeniu cosinusów wychodzi ujemny.

Skąd $h < a$? Ze wzoru $h = \frac{a h_s}{b}$, bo apotema $h_s$ jest przyprostokątną trójkąta, w którym krawędź boczna $b$ jest przeciwprostokątną, więc $h_s < b$.

Pomaga też obraz. Gdy ostrosłup jest bardzo wysoki, ściany boczne stoją prawie pionowo i kąt między sąsiednimi ścianami zbliża się do kąta prostego między bokami kwadratu. Gdy ostrosłup jest bardzo płaski, ściany prawie leżą na podstawie i kąt zbliża się do $180^\circ$. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym dolną granicą jest kąt trójkąta równobocznego, czyli $60^\circ$, więc tam kąt między ścianami bocznymi bywa ostry albo rozwarty.

Wzory

W dwóch ostatnich wzorach $a$ to krawędź podstawy, a $b$ to krawędź boczna. Oba wynikają z pierwszego: podstawiasz $h^2 = \frac{a^2(4b^2 - a^2)}{4b^2}$ oraz $d^2 = 2a^2$ dla podstawy kwadratowej albo $d^2 = a^2$ dla trójkątnej. Traktuj je jako sprawdzian wyniku, a w rozwiązaniu zapisuj rozumowanie z trójkątem $BED$, tak jak w przykładach niżej.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania o kątach w ostrosłupie z arkuszy rozszerzonych: kąt między ścianami bocznymi, kąt nachylenia ściany do podstawy i przekrój płaszczyzną prostopadłą do ściany bocznej. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie stereometria. Gdy potrzebujesz przypomnieć sobie objętość i pole powierzchni, zajrzyj do wpisu o objętości ostrosłupa i polu jego powierzchni, a kąt nachylenia krawędzi bocznej masz w osobnym wpisie kąt między krawędzią a podstawą ostrosłupa.

• Matura rozsz. maj 20105 pkt
  W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $a$. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa $2\alpha$. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
• Matura rozsz. maj 20155 pkt
  Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SD$ jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi $ABS$ i $CBS$ tego ostrosłupa.
• Matura rozsz. pokazowa mar 20226 pkt
  Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ i polu powierzchni bocznej równym $P$. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka $S$ ma miarę $2\alpha$.
  
  Objętość tego ostrosłupa jest równa $\sqrt{k \cdot P^3 \cdot \sin \alpha \cdot \cos(2\alpha)}$, gdzie $k$ jest stałym współczynnikiem liczbowym.
  
  Oblicz współczynnik $k$.
  
  Zapisz obliczenia.
• Matura rozsz. maj 20116 pkt
  Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$. W trójkącie równoramiennym $ASC$ stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy $|AC| : |AS| = 6 : 5$. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
• Matura rozsz. cze 20161 pkt
  W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy
• Matura rozsz. prób. CKE gru 20225 pkt
  Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość $a$. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\alpha$ takim, że $\cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$. Przez krawędź $BC$ podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę $\pi$ prostopadłą do ściany bocznej $SAD$.
  
  Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę $\pi$ i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  
  Zapisz obliczenia.

Następny krok Wszystkie działy matury rozszerzonej

Najczęstsze pytania