Wykres funkcji sinus i cosinus - okres, amplituda, przesunięcia

Wykres funkcji sinus i cosinus to falująca krzywa, która powtarza się co $2\pi$ (to jej okres) i przyjmuje wartości od -1 do 1 (to jej amplituda). Gdy funkcję przekształcasz do postaci $f(x) = A \sin(\omega(x - x_0)) + B$, liczba $|A|$ zmienia amplitudę, $\omega$ zmienia okres na $T = 2\pi / |\omega|$, a $x_0$ i $B$ przesuwają wykres w poziomie i w pionie. To jeden z tematów, które na maturze rozszerzonej pojawiają się razem z odczytywaniem wzoru funkcji z opisu wykresu.

W tym artykule rysujemy krok po kroku, jak podstawowy wykres sinusa i cosinusa zmienia się pod wpływem każdego z tych czterech parametrów, i przechodzimy przez cztery pełne przykłady, w tym zadanie odwrotne - odczytanie wzoru funkcji z danych o wykresie.

Podstawowy wykres funkcji sinus i cosinus

Funkcje $y = \sin x$ oraz $y = \cos x$ mają dziedzinę $\mathbb{R}$ i zbiór wartości $[-1, 1]$. Obie są okresowe z okresem $T = 2\pi$, co oznacza, że $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ dla każdego $x$.

Kluczowe różnice między nimi widać od razu na wykresie:

• •$y = \sin x$ przechodzi przez początek układu współrzędnych - $\sin 0 = 0$, rośnie do 1 w $x = \pi/2$, spada do -1 w $x = 3\pi/2$.
• •$y = \cos x$ zaczyna od maksimum - $\cos 0 = 1$, spada do -1 w $x = \pi$, wraca do 1 w $x = 2\pi$.
• •Wykres cosinusa to wykres sinusa przesunięty o $\pi/2$ w lewo: $\cos x = \sin(x + \pi/2)$.

Obie funkcje są nieparzyste albo parzyste - $\sin(-x) = -\sin x$ (funkcja nieparzysta, wykres symetryczny względem początku układu), $\cos(-x) = \cos x$ (funkcja parzysta, wykres symetryczny względem osi OY). Jeśli ten podział jest dla Ciebie nowy, warto najpierw przypomnieć sobie wartości funkcji trygonometrycznych w tabeli, bo do rysowania wykresu potrzebujesz znać wartości w charakterystycznych punktach: 0, $\pi/2$, $\pi$, $3\pi/2$, $2\pi$.

Jak przekształcenia zmieniają wykres funkcji trygonometrycznej

Ogólna postać przekształconej funkcji sinus wygląda tak:

$f(x) = A \sin\big(\omega(x - x_0)\big) + B$

Każdy z czterech parametrów odpowiada za inną zmianę wykresu:

• •Amplituda $|A|$ - rozciąga (gdy $|A| > 1$) albo ściska (gdy $|A| < 1$) wykres w pionie. Zbiór wartości zmienia się z $[-1,1]$ na $[-|A|, |A|]$. Gdy $A < 0$, wykres dodatkowo odbija się symetrycznie względem osi OX.
• •Okres $T = \dfrac{2\pi}{|\omega|}$ - im większe $|\omega|$, tym wykres jest "ściśnięty" i fala powtarza się częściej. Ten typ przekształcenia (zmiana okresu, czyli $\omega \neq 1$) pojawia się głównie w zadaniach z zakresu rozszerzonego.
• •Przesunięcie w poziomie $x_0$ - cały wykres przesuwa się o $x_0$ jednostek w prawo (jeśli $x_0 > 0$) lub w lewo (jeśli $x_0 < 0$). To dokładnie ten sam mechanizm, co przy przekształceniach wykresów innych funkcji - translacja o wektor.
• •Przesunięcie w pionie $B$ - cały wykres przesuwa się o $B$ jednostek w górę (jeśli $B > 0$) lub w dół (jeśli $B < 0$). Zbiór wartości zmienia się na $[B - |A|, B + |A|]$.

Dokładnie te same reguły działają dla cosinusa - wystarczy w powyższym wzorze zamienić $\sin$ na $\cos$.

Kiedy ten temat pojawia się na maturze

Dział Trygonometria w bazie zadań na Sprawnej Maturze to ponad 120 zadań, a przekształcanie wykresów funkcji trygonometrycznych łączy się bezpośrednio z odczytywaniem monotoniczności, dziedziny i zbioru wartości - czyli tematami, które osobno pojawiają się przy funkcjach w ogóle, a przy trygonometrii dochodzi jeszcze okresowość. W zadaniach z arkuszy CKE ten temat najczęściej występuje jako zadanie otwarte: opis własności wykresu, z którego trzeba odtworzyć wzór funkcji, dokładnie jak w Przykładzie 3.

Typowe błędy przy rysowaniu wykresów funkcji trygonometrycznych

• •Mylenie kierunku przesunięcia w poziomie. We wzorze $f(x) = A\sin(\omega(x - x_0))$ dodatnie $x_0$ oznacza przesunięcie w prawo, nie w lewo - to najczęstsza pomyłka ze znakiem, bo intuicyjnie "minus" kojarzy się z przesunięciem w lewo.
• •Liczenie okresu bez wartości bezwzględnej. Wzór to $T = 2\pi / |\omega|$, więc nawet gdy $\omega$ jest ujemne (np. $\omega = -2$), okres i tak wychodzi dodatni: $T = 2\pi/2 = \pi$.
• •Zapominanie o odbiciu przy ujemnej amplitudzie. Gdy $A < 0$, wykres nie tylko się rozciąga czy ściska - odbija się symetrycznie względem osi OX. Funkcja $y = -2\sin x$ w punkcie $x = \pi/2$ ma wartość $-2$, a nie $2$.
• •Mieszanie przesunięcia w pionie ze zmianą amplitudy. $B$ w $A\sin(\ldots) + B$ przesuwa całą "oś symetrii" wykresu, nie zmienia rozpiętości fali. Zbiór wartości liczysz jako $[B-|A|, B+|A|]$, a nie jako $[-|A|,|A|]$ z dodanym $B$ tylko do jednej granicy.
• •Zakładanie, że okres zawsze wynosi $2\pi$. To prawda tylko dla $\omega = 1$. Gdy w zadaniu pojawia się $\sin(2x)$, $\cos(3x)$ albo podobny zapis, okres trzeba przeliczyć ze wzoru $T = 2\pi/|\omega|$.

Podsumowanie - co musisz umieć

Ten temat naturalnie łączy się z rozwiązywaniem równań trygonometrycznych - w wielu zadaniach maturalnych najpierw czytasz własności wykresu, a potem szukasz konkretnych rozwiązań równania na tym wykresie. Jeśli potrzebujesz przypomnienia całego działu, zacznij od przeglądu trygonometrii na maturze.

Najczęstsze pytania

Następny krok Losuj kolejne zadanie