Jak obliczyć sinus i cosinus, znając tangens - zadania maturalne

Gdy znasz tangens kąta, sinus i cosinus obliczysz z dwóch związków zapisanych w tablicach CKE: jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ oraz definicji tangensa $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Podstawiając $\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$ do jedynki, dostajesz gotowy wzór $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$. Dla kąta ostrego jeszcze szybszy jest trójkąt prostokątny: z tangensa odczytujesz proporcję przyprostokątnych, przeciwprostokątną liczysz z twierdzenia Pitagorasa i wszystkie funkcje spisujesz z definicji.

Zadanie typu "kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha = 2$, oblicz $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$" to jeden z pewniaków trygonometrii na poziomie podstawowym. Ten motyw, czyli przechodzenie między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta, pojawia się w arkuszach niemal co sesję: m.in. maj 2020, próbna CKE grudzień 2023, sierpień 2024, sierpień 2025 i maj 2026. Poniżej masz dwie niezawodne metody i 5 rozwiązanych zadań, łącznie z wariantem dla kąta rozwartego, który obowiązuje w formule 2023.

Trzy wzory, które załatwiają każde takie zadanie

Do przechodzenia między $\sin$, $\cos$ i $\operatorname{tg}$ tego samego kąta wystarczą dwa związki: jedynka trygonometryczna $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ i definicja tangensa $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Trzeci wzór, $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$, wyprowadzasz z tych dwóch w dwie linijki i to on robi całą robotę, gdy dany jest tangens.

Oba bazowe związki znajdziesz w karcie wzorów CKE, więc nie musisz ich pamiętać, ale musisz wiedzieć, kiedy ich użyć. Skąd bierze się jedynka i jak wygląda jej dowód, tłumaczymy w osobnym poradniku o jedynce trygonometrycznej.

Wyprowadzenie trzeciego wzoru:

Krok 1: wyznacz sinus z definicji tangensa. $\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$.

Krok 2: podstaw do jedynki trygonometrycznej. $\operatorname{tg}^2\alpha \cdot \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Krok 3: wyłącz $\cos^2\alpha$ przed nawias. $\cos^2\alpha \left(\operatorname{tg}^2\alpha + 1\right) = 1$, stąd $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$.

Metoda 1: trójkąt prostokątny (najszybsza dla kąta ostrego)

Jeśli $\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}$ i kąt $\alpha$ jest ostry, narysuj trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątna naprzeciw kąta ma długość $a$, a przyprostokątna przy kącie $b$. Przeciwprostokątną obliczasz z twierdzenia Pitagorasa: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Wtedy $\sin\alpha = \frac{a}{c}$ oraz $\cos\alpha = \frac{b}{c}$.

Dlaczego to działa? Tangens wyznacza tylko proporcję przyprostokątnych, a wartości funkcji trygonometrycznych zależą wyłącznie od kształtu trójkąta, nie od jego rozmiaru: trójkąty podobne mają te same kąty i te same wartości funkcji. Możesz więc przyjąć najwygodniejsze długości zgodne z proporcją. Definicje wszystkich trzech funkcji w trójkącie prostokątnym powtórzysz w poradniku o sinusie, cosinusie i tangensie.

Metoda 2: jedynka trygonometryczna i definicja tangensa

Ta metoda działa zawsze, także poza kątem ostrym. Liczysz $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$, pierwiastkujesz z odpowiednim znakiem, a sinus odzyskujesz z zależności $\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$.

Krok 1: oblicz $\cos^2\alpha$ ze wzoru. Podstaw wartość tangensa do $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$.

Krok 2: ustal znak cosinusa. Dla kąta ostrego $\cos\alpha > 0$, dla kąta rozwartego $\cos\alpha < 0$.

Krok 3: oblicz sinus. $\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$.

Krok 4: sprawdź jedynką. Suma $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ musi dać dokładnie $1$.

Rozwiązane zadania maturalne

Zadanie 1. $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}$, kąt ostry

Oblicz $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$.

Krok 1: narysuj trójkąt zgodny z proporcją. Przyprostokątne: $3$ (naprzeciw kąta) i $4$ (przy kącie).

Krok 2: oblicz przeciwprostokątną. $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Krok 3: spisz wyniki z definicji. $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$.

Krok 4: sprawdź jedynką. $\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$. Zgadza się.

Zadanie 2. $\operatorname{tg}\alpha = 2$, kąt ostry

Oblicz $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$.

Krok 1: użyj wzoru na $\cos^2\alpha$. $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5}$.

Krok 2: spierwiastkuj z dodatnim znakiem (kąt ostry). $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Tę postać uzyskasz przez usunięcie niewymierności z mianownika.

Krok 3: oblicz sinus. $\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Krok 4: sprawdź jedynką. $\frac{20}{25} + \frac{5}{25} = 1$. Zgadza się.

Zadanie 3. Warunek z ułamkiem (styl: matura maj 2020)

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha} = 5$. Oblicz $\operatorname{tg}\alpha$, a następnie $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$.

Krok 1: rozbij ułamek na dwa składniki. $\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{3\cos\alpha}{\cos\alpha} = 2\operatorname{tg}\alpha + 3$.

Krok 2: rozwiąż równanie. $2\operatorname{tg}\alpha + 3 = 5$, stąd $\operatorname{tg}\alpha = 1$.

Krok 3: rozpoznaj kąt. Dla kąta ostrego $\operatorname{tg}\alpha = 1$ oznacza $\alpha = 45^\circ$, więc $\sin\alpha = \cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni masz w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych.

Zadanie 4. W drugą stronę: dany sinus, szukany tangens (styl: próbna CKE grudzień 2023)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Oblicz $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$.

Krok 1: cosinus z jedynki. $\cos^2\alpha = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$, a że kąt jest ostry: $\cos\alpha = \frac{2}{3}$.

Krok 2: tangens z definicji. $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Zadanie 5. Wartość wyrażenia, gdy znasz tangens

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha = 2$. Oblicz wartość wyrażenia $\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$.

Krok 1: podziel licznik i mianownik przez $\cos\alpha$. To najważniejszy trik w tego typu zadaniach: $\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\operatorname{tg}\alpha + 1}{\operatorname{tg}\alpha - 1}$.

Krok 2: podstaw tangens. $\frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$.

Zauważ: nie musiałeś znać $\sin\alpha$ ani $\cos\alpha$ osobno. Dzielenie licznika i mianownika przez $\cos\alpha$ zamienia całe wyrażenie na tangens i skraca rozwiązanie do dwóch linijek.

Kąt rozwarty: uważaj na znaki

W formule 2023 trygonometria na poziomie podstawowym obejmuje kąty od $0^\circ$ do $180^\circ$. Dla kąta rozwartego sinus pozostaje dodatni, a cosinus i tangens są ujemne. Wzory zostają te same, zmienia się tylko znak wybierany przy pierwiastkowaniu.

Przykład: kąt $\alpha$ jest rozwarty i $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Z jedynki $\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, ale wybierasz znak ujemny: $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$. Stąd $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{5} : \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{4}$. Przy kątach rozwartych przydają się też wzory redukcyjne: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ oraz $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$.

Typowe pułapki

• •Gubisz znak przy pierwiastkowaniu. Z $\cos^2\alpha = \frac{16}{25}$ wynika $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ albo $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$. O wyborze decyduje informacja o kącie z treści zadania: ostry to plus, rozwarty to minus.
• •Odwracasz definicję tangensa. $\operatorname{tg}\alpha$ to $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, nie odwrotnie. Po zamianie kolejności wszystkie dalsze rachunki są błędne, a wynik często wygląda wiarygodnie.
• •Ignorujesz słowo "ostry" w treści. To nie ozdobnik, tylko informacja o znakach. Bez niej zadanie miałoby dwa poprawne komplety odpowiedzi.
• •Zostawiasz pierwiastek w mianowniku. $\frac{1}{\sqrt{5}}$ i $\frac{\sqrt{5}}{5}$ to ta sama liczba, ale zapis bez niewymierności w mianowniku jest standardem w kluczach CKE i ułatwia porównanie wyniku z odpowiedziami.
• •Szukasz cotangensa w tablicach. W formule 2023 na poziomie podstawowym cotangens nie występuje. Jeśli ćwiczysz na starych arkuszach (formuła 2015), tam $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Różnice między formułami zebraliśmy w porównaniu formuła 2015 vs 2023.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć sinus i cosinus, gdy znany jest tangens?
Skorzystaj ze wzoru $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$, który wynika z jedynki trygonometrycznej i definicji tangensa. Po spierwiastkowaniu ze znakiem zgodnym z rodzajem kąta obliczasz sinus z zależności $\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$. Dla kąta ostrego równie szybki jest trójkąt prostokątny i twierdzenie Pitagorasa.

Jaki wzór łączy sinus, cosinus i tangens?
Definicja tangensa: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Razem z jedynką trygonometryczną $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ tworzy komplet: z jednej znanej wartości funkcji trygonometrycznej wyznaczysz dwie pozostałe, z dokładnością do znaku, o którym rozstrzyga rodzaj kąta.

Czy tangens kąta może być większy od 1?
Tak. Tangens kąta ostrego przyjmuje wszystkie wartości dodatnie: dla kątów mniejszych od $45^\circ$ jest mniejszy od $1$, dla $45^\circ$ równy $1$, a dla kątów większych od $45^\circ$ może być dowolnie duży. Ograniczenie wartości do przedziału od $-1$ do $1$ dotyczy sinusa i cosinusa, nie tangensa.

Jak obliczyć tangens, gdy znam sinus kąta?
Najpierw oblicz cosinus z jedynki trygonometrycznej: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, wybierając znak zgodny z rodzajem kąta. Potem podziel sinus przez cosinus: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Dokładnie tak rozwiązane jest zadanie 4 w tym artykule.

Jaki znak ma cosinus kąta rozwartego?
Ujemny. Dla kątów od $90^\circ$ do $180^\circ$ cosinus i tangens są ujemne, a sinus pozostaje dodatni. Dlatego przy pierwiastkowaniu $\cos^2\alpha$ dla kąta rozwartego wybierasz wartość ujemną, tak jak w przykładzie z tego artykułu.

Czy wzory na związki między funkcjami trygonometrycznymi są w tablicach CKE?
Tak. Jedynka trygonometryczna i definicja tangensa są w karcie wzorów CKE, z której korzystasz na egzaminie. Wzoru $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$ w tablicach nie ma, ale wyprowadzisz go z tamtych dwóch w dwóch linijkach.

Związki między funkcjami trygonometrycznymi - checklista

• •Znasz jedynkę trygonometryczną i definicję tangensa oraz wiesz, gdzie znaleźć je w tablicach CKE.
• •Umiesz wyprowadzić i zastosować wzór $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$.
• •Dla kąta ostrego umiesz użyć trójkąta prostokątnego i twierdzenia Pitagorasa.
• •Pamiętasz o znakach: kąt ostry to cosinus dodatni, kąt rozwarty to cosinus i tangens ujemne.
• •Umiesz podzielić licznik i mianownik wyrażenia przez $\cos\alpha$, żeby zamienić je na tangens.
• •Każdy wynik sprawdzasz jedynką trygonometryczną.

Ten typ zadania przećwiczysz na prawdziwych arkuszach w zbiorze zadań CKE z trygonometrii z rozwiązaniami.