Jedynka trygonometryczna - wzór, dowód i zadania matura krok po kroku

Jedynka trygonometryczna to wzór, który musisz znać na pamięć na maturze: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Brzmi prosto, ale zaskakująco często decyduje o tym, czy zadanie z trygonometrii skończy się na 0 czy na 2 punktach. W tym poradniku pokażę ci, skąd ten wzór się bierze, jak go przekształcać i kiedy go używać.

Nauczysz się obliczać $\cos\alpha$, gdy znasz $\sin\alpha$ (i odwrotnie), liczyć tangens bez kalkulatora i upraszczać wyrażenia, które na pierwszy rzut oka wyglądają jak hieroglify. Zrobimy 5 rozwiązanych zadań w stylu maturalnym, dokładnie takich, jakie pojawiają się na arkuszach CKE.

Czym jest jedynka trygonometryczna?

Jedynka trygonometryczna to podstawowa tożsamość, która łączy sinus i cosinus tego samego kąta:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Nazwa bierze się stąd, że prawa strona równania to po prostu $1$. Wzór jest prawdziwy dla każdego kąta $\alpha$, niezależnie od tego, w której ćwiartce się znajduje, czy jest dodatni, ujemny, większy od $360°$ czy mniejszy od $0°$. To dlatego nazywamy go tożsamością, a nie równaniem.

Uwaga na zapis: $\sin^2\alpha$ to skrót od $(\sin\alpha)^2$. To NIE jest $\sin(\alpha^2)$. Jeśli ktoś podstawi do tego wzoru kąt $\alpha = 30°$, to liczy $(\sin 30°)^2 = (1/2)^2 = 1/4$, a nie sinus z dziewięciuset stopni. Ten błąd zdarza się zaskakująco często.

Jedynka trygonometryczna znajduje się w karcie wzorów CKE, więc na egzaminie masz ją pod ręką. Ale jeśli musisz ją sprawdzać w karcie, tracisz czas. Naucz się jej na pamięć, razem z trzema głównymi przekształceniami, które pokażę poniżej.

Dowód jedynki trygonometrycznej

Najprostszy dowód korzysta z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym.

Dowód w trójkącie prostokątnym

Weź dowolny trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątnej $c$. Niech $\alpha$ będzie jednym z kątów ostrych. Wtedy z definicji funkcji trygonometrycznych:

$\sin\alpha = \frac{a}{c}, \quad \cos\alpha = \frac{b}{c}$

Podstawmy do lewej strony jedynki:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że $a^2 + b^2 = c^2$. Czyli:

$\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$

I to wszystko. Wzór wynika wprost z Pitagorasa. Jeśli widzisz na maturze pytanie "udowodnij jedynkę trygonometryczną", wystarczą te trzy linijki.

Dowód w kole jednostkowym (dla kątów dowolnych)

Powyższy dowód działa tylko dla kątów ostrych. Żeby pokazać, że jedynka działa dla każdego kąta, używamy koła jednostkowego, czyli okręgu o promieniu $1$ i środku w początku układu współrzędnych.

Każdy punkt na tym okręgu ma współrzędne $(\cos\alpha, \sin\alpha)$, gdzie $\alpha$ to kąt mierzony od dodatniej półosi $OX$. Skoro punkt leży na okręgu o promieniu $1$, to z równania okręgu $x^2 + y^2 = 1$ dostajemy:

$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$

I tu działa dla każdego $\alpha$, bo każdy kąt odpowiada jakiemuś punktowi na okręgu jednostkowym.

Trzy najważniejsze przekształcenia jedynki

To te trzy formuły musisz mieć w głowie. 90% zadań z jedynki trygonometrycznej korzysta z jednej z nich.

1. Wyznaczanie sinusa z cosinusa

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$

A stąd:

$\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$

Znak $+$ lub $-$ zależy od tego, w której ćwiartce leży $\alpha$. Sinus jest dodatni w I i II ćwiartce, ujemny w III i IV.

2. Wyznaczanie cosinusa z sinusa

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

A stąd:

$\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$

Cosinus jest dodatni w I i IV ćwiartce, ujemny w II i III.

3. Wyznaczanie tangensa

Z definicji tangensa:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \cos\alpha \neq 0$

Jeśli masz $\sin\alpha$, policz $\cos\alpha$ z jedynki, a potem podziel. To najczęstsza ścieżka rozwiązania.

Znaki funkcji w ćwiartkach - jak nie pomylić

Po przekształceniu jedynki dostajesz pierwiastek, a pierwiastek jest zawsze dodatni. Znak musisz dopisać sam, na podstawie tego, w której ćwiartce leży kąt. Oto reguła "sklepy":

Polskie mnemoniki: w I ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w II tylko sinus, w III tylko tangens (i cotangens), w IV tylko cosinus. Na maturze podstawowej najczęściej operujemy na kątach ostrych (I ćwiartka), więc znaki są dodatnie. Ale od czasu do czasu pojawia się kąt rozwarty (II ćwiartka) i wtedy trzeba uważać.

Cała teoria znaków jest dokładniej rozpisana w poradniku o tabeli wartości sin, cos, tg.

Inne podstawowe tożsamości trygonometryczne

Jedynka to nie jedyna tożsamość, którą trzeba znać. Oto cały zestaw "must have" na maturę podstawową:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \cos\alpha \neq 0$ $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Z tych dwóch da się wyprowadzić praktycznie wszystko, co potrzeba na egzaminie podstawowym. Na maturze rozszerzonej dochodzi jeszcze:

$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

Skąd to się bierze? Podziel jedynkę trygonometryczną przez $\cos^2\alpha$:

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ $\operatorname{tg}^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

Pełna tabela tożsamości i wzorów redukcyjnych jest w zestawie wzorów trygonometrycznych.

Jedynka w zadaniach z planimetrii i stereometrii

Jedynka trygonometryczna to nie tylko narzędzie trygonometryczne. W rzeczywistości używasz jej w każdym zadaniu, gdzie pojawia się trójkąt prostokątny i kąt nachylenia. Kilka typowych sytuacji:

• •W stereometrii liczysz $\cos$ kąta między krawędzią a podstawą ostrosłupa, znając $\sin$ tego kąta z proporcji boków.
• •W planimetrii używasz jedynki razem z twierdzeniem sinusów lub cosinusów do liczenia brakujących boków.
• •W geometrii analitycznej jedynka pomaga, gdy szukasz równania prostej przez dwa punkty i potrzebujesz kąta nachylenia.

W praktyce, jeśli znasz jedną funkcję trygonometryczną kąta, jedynka daje ci dostęp do wszystkich pozostałych. To dlatego jest tak fundamentalna.

Typowe pułapki

Po latach poprawiania prac maturalnych wiadomo, gdzie uczniowie tracą punkty. Trzy najczęstsze pułapki z jedynki trygonometrycznej:

Kiedy wyciągasz pierwiastek z $\cos^2\alpha$, zawsze pamiętaj o "$\pm$". Pierwiastek arytmetyczny jest dodatni, ale funkcja trygonometryczna może być ujemna. Bez tego znaku w II, III lub IV ćwiartce dostaniesz złą odpowiedź. Sprawdzaj ćwiartkę zanim wybierzesz znak.

Zapis $\sin^2\alpha$ oznacza $(\sin\alpha)^2$, czyli najpierw liczysz sinus, potem podnosisz do kwadratu. To NIE jest sinus z kwadratu kąta. Dla $\alpha = 30°$ wartość $\sin^2 30° = (1/2)^2 = 1/4$, a nie $\sin 900°$.

Jeśli zadanie sprowadza się do $\operatorname{tg}\alpha = \sin\alpha / \cos\alpha$ i okaże się, że $\cos\alpha = 0$ (np. dla $\alpha = 90°$), to tangens jest nieokreślony. Sprawdzaj zawsze dziedzinę. Więcej o tym w artykule o równaniach trygonometrycznych.

$\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$, a nie $\frac{6}{10}$. Pamiętaj, że kwadrat ułamka to kwadrat licznika przez kwadrat mianownika.

Jak rozpoznać, że trzeba użyć jedynki

Sygnały w treści zadania, które mówią "tu działa jedynka trygonometryczna":

• •Masz podaną jedną funkcję trygonometryczną, a pytanie pyta o drugą.
• •W wyrażeniu pojawia się jednocześnie $\sin^2\alpha$ i $\cos^2\alpha$.
• •Widzisz wyrażenie $1 - \sin^2\alpha$ lub $1 - \cos^2\alpha$.
• •Masz podany tangens i musisz znaleźć sinus albo cosinus.
• •Trzeba udowodnić tożsamość trygonometryczną.
• •Pojawia się ostrosłup lub trójkąt z jednym znanym kątem i potrzebujesz wszystkich trzech funkcji tego kąta.

Jeśli zobaczysz cokolwiek z tej listy w zadaniu, automatycznie wpisz w głowie "jedynka trygonometryczna" i nie marnuj czasu na inne metody.

Checklista - co musisz umieć z jedynki trygonometrycznej

Przed maturą sprawdź, czy umiesz wszystko z poniższej listy. Jeśli nie, wróć do odpowiedniej sekcji.

Najczęstsze pytania o jedynkę trygonometryczną (FAQ)

Co dalej?

Jeśli czujesz, że jedynka trygonometryczna już ci nie straszna, sprawdź inne fundamenty trygonometrii: tabela wartości sin, cos, tg dla kątów 30, 45, 60, 90 stopni, twierdzenie sinusów i cosinusów, równania trygonometryczne krok po kroku. Pełny przegląd działu znajdziesz w przewodniku po trygonometrii na maturze, a zadania do trenowania w sekcji zadań z trygonometrii.

Jedynka to wzór, który zarobisz przez najbliższy tydzień, a będzie ci się zwracał punktami przez całą maturę. Warto.

Następny krok Losuj kolejne zadanie