Zadania CKE z trygonometrii z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Trygonometria na maturze podstawowej to dział, w którym da się zdobyć komplet punktów, bo prawie wszystko sprowadza się do kilku definicji i jednej tabeli wartości. Pojawia się co roku, najczęściej jako zadanie zamknięte plus jedno otwarte. Ta strona to hub, w którym zebraliśmy zadania z trygonometrii pochodzące z prawdziwych arkuszy CKE, każde z rozwiązaniem krok po kroku. Poniżej znajdziesz wzory, tabelę wartości, typowe schematy zadań i linki prosto do zadań, na których możesz od razu ćwiczyć.

Co obejmuje trygonometria na maturze CKE

Na poziomie podstawowym trygonometria dotyczy kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Musisz umieć: definicje sinusa, cosinusa i tangensa, wartości tych funkcji dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$, jedynkę trygonometryczną oraz związek między tangensem a sinusem i cosinusem. To wąski, dobrze przewidywalny zestaw, dlatego opłaca się go opanować szybko i pewnie.

Zaletą tego działu jest to, że większość zadań to podstawienie do definicji albo do jednej z dwóch tożsamości. Jeśli znasz wzory i uważasz na to, która przyprostokątna jest naprzeciw kąta, zdobywasz punkty niemal automatycznie. Pełną teorię i uporządkowaną listę zadań znajdziesz też na stronie tematu trygonometria, a wszystkie wzory potrzebne na egzaminie masz w tablicach maturalnych.

Wzory, które musisz znać

Zacznijmy od fundamentu. W trójkącie prostokątnym, dla kąta ostrego $\alpha$, definiujemy funkcje względem boków: przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta, przyprostokątnej leżącej przy kącie i przeciwprostokątnej.

$\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}}, \quad \cos\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}}$ $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przyprostokątna przy kącie}}$

Do tego dwie tożsamości, które ratują większość zadań otwartych. Jedynka trygonometryczna:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

oraz związek tangensa z sinusem i cosinusem:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Te cztery wzory plus tabela wartości to około 90 procent zadań z trygonometrii na maturze podstawowej. Naucz się ich na pamięć, choć i tak znajdziesz je w tablicach, bo płynne posługiwanie się nimi oszczędza cenne minuty na egzaminie.

Tabela wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni

Tej tabeli musisz nauczyć się na pamięć. Pojawia się w zadaniach częściej niż jakikolwiek inny fragment działu.

Zapamiętaj prostą regułę: sinus rośnie od $\frac{1}{2}$ do $\frac{\sqrt{3}}{2}$, a cosinus robi dokładnie to samo, tylko od tyłu. Dla $45^\circ$ sinus i cosinus są równe, bo to kąt symetryczny. Jeśli to widzisz, nie pomylisz kolumn.

Typowe schematy zadań i jak je rozpoznać

Zadania z trygonometrii wyglądają na różne, ale kryje się za nimi kilka powtarzalnych schematów. Gdy je rozpoznasz, przestaniesz zgadywać.

Schemat pierwszy - policz funkcję z boków trójkąta. Dostajesz trójkąt prostokątny z podanymi bokami i masz policzyć sinus, cosinus albo tangens danego kąta. Klucz: ustalić, który bok jest naprzeciw kąta, który przy nim, a który jest przeciwprostokątną, i podstawić do definicji.

Schemat drugi - z jednej funkcji wyznacz pozostałe. Masz podany na przykład $\sin\alpha$ i informację, że kąt jest ostry, a musisz policzyć $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$. Klucz: jedynka trygonometryczna do cosinusa, potem $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Schemat trzeci - oblicz wartość wyrażenia. Dostajesz wyrażenie typu $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ$ i masz podać wynik liczbowy. Klucz: podstawić wartości z tabeli i uważać na działania na ułamkach i pierwiastkach.

Schemat czwarty - zastosowanie w trójkącie z figury. Trygonometria bywa częścią większego zadania z planimetrii, na przykład gdy trzeba policzyć wysokość albo bok. Klucz: wyodrębnić trójkąt prostokątny i dobrać odpowiednią funkcję.

Rozwiązane przykłady krok po kroku

Zobaczmy po jednym przykładzie z każdego schematu, żeby metoda stała się konkretna.

Przykład 1 - funkcja z boków. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $3$ i $4$, a kąt ostry $\alpha$ leży naprzeciw boku o długości $3$. Oblicz $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$.

Najpierw przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Naprzeciw kąta leży bok $3$, przy kącie bok $4$. Stąd $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$, a $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}$.

Przykład 2 - z jednej funkcji pozostałe. Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha = \frac{12}{13}$. Oblicz $\sin\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$.

Z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$. Ponieważ kąt jest ostry, sinus jest dodatni, więc $\sin\alpha = \frac{5}{13}$. Dalej $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.

Przykład 3 - wartość wyrażenia. Oblicz $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ$.

Podstawiamy z tabeli: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$. Wynik to $0$.

Przykład 4 - trygonometria w figurze. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość $10$, a kąt ostry przy niej wynosi $60^\circ$. Oblicz długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta.

Naprzeciw kąta i przeciwprostokątna to relacja sinusa: $\sin 60^\circ = \frac{a}{10}$, więc $a = 10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$.

Jeśli chcesz zobaczyć więcej takich rozwiązań na prawdziwych zadaniach maturalnych, otwórz pełną bazę zadań z trygonometrii - każde zadanie ma rozwiązanie rozpisane etapami, dokładnie tak jak powyżej.

Baza zadań CKE z trygonometrii - ćwicz od razu

W naszej bazie znajdziesz zadania z trygonometrii pochodzące z prawdziwych arkuszy CKE z lat 2010-2025, posegregowane i z pełnymi rozwiązaniami. Możesz je przerabiać na kilka sposobów.

Chcesz systematycznie przejść przez cały dział - wejdź na stronę tematu trygonometria i rób zadania po kolei, od łatwiejszych zamkniętych po trudniejsze otwarte. Chcesz sprawdzić się w warunkach maturalnych - użyj trybu losowych zadań, który wrzuca trygonometrię wymieszaną z innymi działami, tak jak na prawdziwym arkuszu. Utknąłeś na konkretnym zadaniu - skorzystaj z solvera, który pokaże ci tok rozumowania, gdy nie wiesz, jak ruszyć.

Chcesz zobaczyć, jak trygonometria wygląda w kontekście całego arkusza - otwórz arkusze maturalne CKE i prześledź, w których zadaniach się pojawia i ile jest warta punktów. Swoje postępy w tym dziale śledzisz na bieżąco w panelu postępów. Pokrewne działy przećwiczysz w hubach zadania CKE z planimetrii oraz zadania CKE z funkcji kwadratowej.

Typowe błędy, przez które tracisz punkty

Znajomość wzorów to jedno, ale punkty najczęściej lecą przez drobne pomyłki. Oto te, które widać najczęściej.

Mylenie boku naprzeciw z bokiem przy kącie. To najczęstszy błąd w całym dziale. Zawsze zaczynaj od zaznaczenia kąta i sprawdzenia, który bok leży dokładnie naprzeciw niego - to jest ten do sinusa.

Mylenie sinusa z cosinusem w tabeli. Wartości dla $30^\circ$ i $60^\circ$ są zamienione miejscami między sinusem a cosinusem. Zapamiętaj: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, a nie $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Gubienie warunku, że kąt jest ostry. Przy liczeniu funkcji z jedynki trygonometrycznej wychodzi kwadrat, więc formalnie są dwa znaki. Na poziomie podstawowym kąt jest ostry, więc bierzesz wartość dodatnią - ale zawsze to zaznacz.

Błędy na ułamkach i pierwiastkach. Wartości z tabeli to ułamki z pierwiastkami, więc łatwo o pomyłkę rachunkową. Licz spokojnie i, jeśli możesz, sprawdź wynik na końcu.

Najczęstsze pytania

Podsumowanie

Trygonometria to dział, w którym opłaca się zdobyć komplet punktów, bo jest przewidywalny i oparty na kilku definicjach oraz jednej tabeli. Naucz się definicji sinusa, cosinusa i tangensa, wartości dla $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$, jedynki trygonometrycznej i związku tangensa z sinusem i cosinusem. Rozpoznawaj cztery typowe schematy zadań, uważaj na bok naprzeciw kąta i na tabelę, a potem po prostu ćwicz na prawdziwych zadaniach CKE. Wszystko masz w jednym miejscu: zadania według działu, losowe zadania, solver, arkusze CKE, tablice wzorów i panel postępów. Wejdź i rozwiąż pierwsze zadanie już teraz.

Następny krok Losuj kolejne zadanie