W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę α. Oblicz sin α · cos α .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 2/5
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 2 i 4. Obliczamy sin α · cos α.
Krok 1: Obliczenie przeciwprostokątnej
c = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √(20) = 2√(5)
Krok 2: Wyznaczenie funkcji trygonometrycznych
Niech α będzie kątem naprzeciwko boku o długości 2 (możemy wybrać dowolny kąt ostry - wynik będzie taki sam).
sin α= 2/(2√(5)) = 1/√(5) cos α= 4/(2√(5)) = 2/√(5)
Krok 3: Obliczenie iloczynu
sin α · cos α= 1/√(5) · 2/√(5) = 2/5
Uwaga: Gdybyśmy wybrali kąt naprzeciwko boku 4, to sin α= 4/(2√(5)) = 2/√(5) i cos α= 2/(2√(5)) = 1/√(5), a iloczyn 2/√(5) · 1/√(5) = 2/5 - wynik jest taki sam.
Odpowiedź: sin α · cos α= 2/5
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.