Kąt α jest kątem ostrym oraz cos α=2/3. Wykaż, że średnia arytmetyczna liczb: a=sin α, b=1/2 oraz c=tg α/3 jest równa (√(5)+1)/6.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że średnia arytmetyczna jest równa (√(5)+1)/6
Musimy wykazać, że średnia arytmetyczna liczb a, b, c wynosi (√(5)+1)/6.
## Krok 1: Obliczenie sin α
Z jedynki trygonometrycznej: sin² α+ cos² α= 1
Podstawiamy cos α= 2/3: sin² α+ (2/3)² = 1
sin² α+ 4/9 = 1
sin² α= 1 - 4/9 = 5/9
Ponieważ α jest kątem ostrym, sin α> 0, więc: sin α= √(5)/3
Zatem a = √(5)/3.
## Krok 2: Obliczenie tg α
tg α= sin α/(cos α) = √(5)/3/(2/3) = √(5)/3 · 3/2 = √(5)/2
Stąd: c = tg α/3 = √(5)/2/3 = √(5)/6
## Krok 3: Obliczenie średniej arytmetycznej
Mamy: - a = √(5)/3 - b = 1/2 - c = √(5)/6
Średnia arytmetyczna: (a + b + c)/3 = (√(5)/3 + 1/2 + √(5)/6)/3
Sprowadzamy do wspólnego mianownika (6): √(5)/3 = 2√(5)/6, 1/2 = 3/6, √(5)/6 = √(5)/6
(a + b + c)/3 = (2√(5) + 3 + √(5))/6/3 = (3√(5) + 3)/6/3
= (3√(5) + 3)/(6 · 3) = 3(√(5) + 1)/18 = (√(5) + 1)/6
Zatem średnia arytmetyczna liczb a, b, c jest równa (√(5)+1)/6, co należało wykazać. ∎
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.