Wykaż, że jeżeli α i β są kątami ostrymi takimi, że sin α=√(35)/6 oraz tg β=√(35), to α=β.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że α= β
Aby wykazać, że α= β, wystarczy pokazać, że sin α= sin β lub tan α= tan β (przy założeniu, że oba kąty są ostre).
Krok 1: Znajdźmy cos α
Dane: sin α= √(35)/6
Z tożsamości sin² α+ cos² α= 1:
cos² α= 1 - sin² α= 1 - (√(35)/6)² = 1 - 35/36 = 1/36
Ponieważ α jest kątem ostrym, cos α> 0, więc:
cos α= 1/6
Krok 2: Obliczmy tan α
tan α= sin α/(cos α) = √(35)/6/(1/6) = √(35)/6 · 6/1 = √(35)
Krok 3: Porównajmy z daną dla kąta β
Dane: tan β= √(35)
Z kroków powyżej mamy: tan α= √(35) = tan β
Krok 4: Wnioskowanie
Ponieważ oba kąty α i β są ostre (należą do przedziału (0°, 90°)), a funkcja tangens jest różnowartościowa w tym przedziale, więc z równości tan α= tan β wynika, że:
α= β
co należało wykazać.
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.