Funkcje trygonometryczne kąta rozwartego i kąta w układzie współrzędnych - wzory i zadania maturalne

Gdy kąt $\alpha$ ma wierzchołek w początku układu współrzędnych, jedno ramię leży na dodatniej półosi $Ox$, a drugie przechodzi przez punkt $P = (x, y)$, to $\sin\alpha = \frac{y}{r}$, $\cos\alpha = \frac{x}{r}$ i $\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}$ (dla $x \neq 0$), gdzie $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ to odległość punktu $P$ od początku układu. Dla kąta rozwartego, czyli $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, punkt $P$ leży w drugiej ćwiartce: $x < 0$ i $y > 0$. Dlatego sinus kąta rozwartego jest dodatni, a cosinus i tangens są ujemne.

Na maturze podstawowej w formule 2023 ten temat wraca w różnych przebraniach. W maju 2023 (zadanie 21) trzeba było odczytać tangens kąta, którego ramię przechodzi przez punkt $(-3, 1)$. W maju 2024 (zadanie 22) kąt rozwarty miał tangens równy $-3$ i należało wskazać prawdziwe zależności między jego sinusem a cosinusem. Na próbnej maturze CKE w marcu 2026 (zadanie 20) z sinusa kąta rozwartego liczyło się wartość wyrażenia. Rachunki są krótkie, a punkty giną na znakach. Poniżej masz definicje, tabelę znaków, wzory, sześć przykładów rozwiązanych krok po kroku i najczęstsze pułapki.

Sinus, cosinus i tangens kąta w układzie współrzędnych

Kładziesz kąt tak, żeby jedno ramię leżało na dodatniej półosi $Ox$, a wierzchołek w punkcie $(0, 0)$. Na drugim ramieniu bierzesz dowolny punkt $P = (x, y)$ różny od wierzchołka i liczysz jego odległość od początku układu $r$. Sinus to $\frac{y}{r}$, cosinus to $\frac{x}{r}$, tangens to $\frac{y}{x}$.

Definicja z trójkąta prostokątnego (przyprostokątna naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną) działa tylko dla kątów ostrych, bo trójkąt prostokątny nie ma kąta rozwartego. Układ współrzędnych rozszerza ją na kąty od $0^\circ$ do $180^\circ$, a dla kąta ostrego daje dokładnie to samo. Punkt $P$ leży wtedy w pierwszej ćwiartce, a jego rzuty na osie tworzą trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $x$ i $y$ oraz przeciwprostokątnej $r$. Przyprostokątna naprzeciw kąta to $y$, przyległa to $x$, jak w klasycznych definicjach sinusa, cosinusa i tangensa. Nowość jest jedna: gdy kąt robi się rozwarty, $x$ staje się ujemne, a razem z nim cosinus i tangens.

Odległość $r$ liczysz tym samym wzorem, co odległość między dwoma punktami, bo to po prostu długość odcinka $OP$. Wynik nie zależy od tego, który punkt ramienia wybierzesz. Punkt $P' = (2x, 2y)$ leży na tym samym ramieniu i ma $r' = 2r$, więc ilorazy $\frac{2y}{2r}$, $\frac{2x}{2r}$ i $\frac{2y}{2x}$ są takie same jak dla $P$. Dlatego przy zadaniu z tangensem możesz sam dobrać wygodny punkt o całkowitych współrzędnych.

Znaki funkcji trygonometrycznych dla kątów od 0° do 180°

Dla kąta ostrego wszystkie trzy funkcje są dodatnie. Dla kąta rozwartego sinus jest dodatni, a cosinus i tangens ujemne, bo punkt na ramieniu ma ujemną pierwszą współrzędną. Na granicy ćwiartek $\cos 90^\circ = 0$, a $\operatorname{tg} 90^\circ$ nie istnieje, bo punkt na ramieniu ma wtedy $x = 0$.

Z tabeli wynika wniosek, który rozstrzyga połowę zadań: z samego sinusa nie poznasz, czy kąt jest ostry, czy rozwarty. $\sin 30^\circ = \sin 150^\circ = \frac{1}{2}$. Jeden z dwóch kątów wybiera dopiero znak cosinusa albo tangensa albo informacja z treści, na przykład „kąt jest rozwarty”.

Jak zamienić kąt rozwarty na ostry

Wartości funkcji dla kąta rozwartego $\alpha$ odczytujesz z kąta ostrego $180^\circ - \alpha$. Sinus zostaje bez zmian, a cosinus i tangens zmieniają znak. Tak $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ$, ale $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ$.

Skąd to się bierze? Punkt $(x, y)$ na ramieniu kąta $\alpha$ i punkt $(-x, y)$ na ramieniu kąta $180^\circ - \alpha$ są symetryczne względem osi $Oy$. Mają ten sam $y$ i to samo $r$, a przeciwne $x$. Trzy kąty rozwarte pojawiają się w zadaniach najczęściej:

Wartości dla kątów ostrych masz w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, a wzory redukcyjne dla wszystkich ćwiartek omawiam osobno we wpisie o wzorach redukcyjnych.

Gdzie jeszcze na maturze spotkasz kąt rozwarty

Kąt rozwarty wchodzi do wzoru na pole trójkąta i równoległoboku z sinusem, do twierdzenia cosinusów i do kąta nachylenia prostej. W każdym z tych miejsc działa ta sama zasada: sinus kąta rozwartego jest dodatni, cosinus ujemny.

• •Pole trójkąta o bokach $4$ i $6$ i kącie $150^\circ$ między nimi to $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin 150^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$.
• •W trójkącie o bokach $3$ i $5$ i kącie $120^\circ$ między nimi trzeci bok liczysz z twierdzenia cosinusów: $c^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 49$, więc $c = 7$. Ujemny cosinus sprawia, że bok naprzeciw kąta rozwartego jest najdłuższy.
• •Prosta $y = -x + 2$ tworzy z osią $Ox$ kąt $135^\circ$, bo jej współczynnik kierunkowy to tangens tego kąta, a $\operatorname{tg} 135^\circ = -1$. Więcej o tym we wpisie o kącie nachylenia prostej do osi Ox.

Wzory

Jedynka działa dla każdego kąta, także rozwartego, bo $x^2 + y^2 = r^2$. Po wyciągnięciu pierwiastka dostajesz jednak dwie wartości i znak wybierasz sam, z ćwiartki. Więcej zadań na samą jedynkę znajdziesz we wpisie o jedynce trygonometrycznej.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania tego samego typu: kąt w układzie współrzędnych, kąt rozwarty w polu trójkąta i sinus kąta $150^\circ$. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie Trygonometria, a gdy potrzebujesz powtórki z kąta ostrego, zacznij od wpisu jak obliczyć sinus i cosinus, znając tangens.

• Matura próbna Operon listopad 2017Zadanie 171 pkt
  Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości $4$ i $6$ . Pole tego trójkąta jest równe $3\sqrt{15}$. Oznacza to, że jeśli kąt między bokami o długościach $4$ i $6$ ma miarę $\alpha \gt 90^\circ$, to:
• Matura próbna CKE grudzień 2023Zadanie 202 pkt
  Dane są dwa kąty o miarach $\alpha$ oraz $\beta$, spełniające warunki: $\alpha \in (0^\circ, 180^\circ)$ i $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{2}{3}$ oraz $\beta \in (0^\circ, 180^\circ)$ i $\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Na rysunkach A-F w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ zaznaczono różne kąty - w tym kąt o mierze $\alpha$ oraz kąt o mierze $\beta$. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: $A$ lub $B$, lub $C$, lub $D$, lub $E$, lub $F$. Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. 1. Kąt $\alpha$ jest zaznaczony na rysunku 2. Kąt $\beta$ jest zaznaczony na rysunku
• Matura próbna grudzień 2014Zadanie 151 pkt
  Liczba $\sin 150^\circ$ jest równa liczbie
• Matura próbna Operon listopad 2018Zadanie 151 pkt
  Dla pewnego kąta wypukłego $\alpha$ mamy $\operatorname{tg} \frac{\alpha }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Kąt $\alpha$ ma miarę:

Najczęstsze pytania