W kartezjańskim układzie wspórzędnych (x, y) zaznaczono kąt o mierze α taki, że tg α=-3 oraz 90°<α<180° (zobacz rysunek). Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Prawdziwe są zależności: ............. oraz .............. .
Odpowiedzi do wyboru
- A.sin α<0
- B.sin α · cos α<0
- C.sin α · cos α>0
- D.cos α>0
- E.sin α=-1/3 cos α
- F.sin α=-3 cos α
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: BF
Pamiętając o tym, że dla kątów z II ćwiartki (90°<α<180°) sinus przyjmuje wartości dodatnie, a cosinus ujemne, możemy od razu odrzucić odpowiedzi A (bo sinα>0) oraz D (bo cosα<0).
Skoro sinα>0 i cosα<0, to ich iloczyn sinα · cosα<0, zatem odpowiedź B jest prawdziwa, a C jest fałszywa.
Teraz ustalmy, która z zależności E lub F jest prawdziwa. Wiemy, że tgα=sinα/cosα=-3, zatem:
sinα=-3cosα
To jest dokładnie zależność F.
Możemy to zweryfikować korzystając ze wzorów. Niech punkt P=(-1;3) leży na ramieniu kąta α. Wtedy r=√((-1)²+3²)=√(10), a więc:
sinα=3/√(10), cosα=-1/√(10)
Rzeczywiscie sinα=3/√(10)=-3 · -1/√(10)=-3cosα.
Odpowiedź: B oraz F.
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.