Kąt o mierze α jest rozwarty oraz sinα=1/√(3). Oblicz wartość wyrażenia 3sinα/(tg α). Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: -√(6)
Krok 1. Przekształcenie wyrażenia.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że tgα=sinα/cosα. Podstawiamy to teraz do naszego wyrażenia:
3sinα/tgα=3sinα/(sinα/cosα)=3sinα · cosα/sinα=3cosα
Zatem musimy obliczyć wartość 3cosα.
Krok 2. Obliczenie wartości cosα.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej sin²α+cos²α=1, możemy zapisać, że:
cos²α=1-sin²α cos²α=1-(1/√(3))² cos²α=1-1/3 cos²α=2/3 cosα=√(2/3) cosα=-√(2/3)
Z treści zadania wynika, że kąt α jest rozwarty, zatem cosinus tego kąta jest ujemny. Dodatnie rozwiązanie zatem odrzucamy. Podstawiając teraz cosα=-√(2/3), otrzymamy:
cosα=-√(2/3)=-√(2)/√(3)=-√(2) · √(3)/3=-√(6)/3
Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia.
Ustaliliśmy już, że nasze wyrażenie jest równe 3cosα, zatem będzie ono równe:
3 · (-√(6)/3)=-√(6)
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.