Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=(3n+9)/(n+1) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Wyznacz wszystkie wartości x, dla których trzywyrazowy ciąg (a₅, 2x², 3x²+5) jest arytmetyczny. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x=−3 lub x=3
Krok 1. Obliczenie wartości a₅.
Podstawiamy n=5 do wzoru ciągu:
a₅=(3 · 5+9)/(5+1) a₅=(15+9)/6 a₅=24/6 a₅=4
Krok 2. Zapisanie warunku na ciąg arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg (4, 2x², 3x²+5) jest arytmetyczny wtedy, gdy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. To oznacza, że:
2x²-4=3x²+5-2x²
Krok 3. Rozwiązanie równania.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Zaczynając od porządkowania wyrazów, otrzymamy taką sytuację:
2x²-4=3x²+5-2x² 2x²-4=x²+5 2x²-x²=5+4 x²=9 x=3 x=-3
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Sprawdźmy oba rozwiązania, weryfikując czy otrzymamy ciąg arytmetyczny:
Dla x=3:
Pierwszy wyraz: 4
Drugi wyraz: 2 · 3²=18
Trzeci wyraz: 3 · 3²+5=32
Ciąg (4,18,32) ma stałą różnicę r=14, więc jest arytmetyczny.
Dla x=-3:
Pierwszy wyraz: 4
Drugi wyraz: 2 · (-3)²=18
Trzeci wyraz: 3 · (-3)²+5=32
Ciąg (4,18,32) ma stałą różnicę r=14, więc również jest arytmetyczny.
Ten ciąg jest zatem arytmetyczny dla x=3 oraz x=-3.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.