Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 12. Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=96√(3)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń.
Skoro ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, to w jego podstawie znajduje się po prostu kwadrat o boku 12, a spodek wysokości ostrosłupa leży w środku tego kwadratu.
Kąt o mierze 30°, pod którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy, leży w trójkącie prostokątnym o wierzchołkach: środek podstawy, środek krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa. Dolną przyprostokątną tego trójkąta jest odcinek łączący środek podstawy ze środkiem krawędzi podstawy, o długości 6, czyli równej połowie boku kwadratu; leży on przy kącie 30°. Drugą przyprostokątną jest wysokość ostrosłupa H, leżąca naprzeciwko tego kąta, a przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej.
Krok 2. Wyznaczenie wysokości ostrosłupa.
Opisany wyżej trójkąt prostokątny ma kąty 30°, 60°, 90°. Zgodnie z własnościami takiego trójkąta, krótsza przyprostokątna (w tym przypadku wysokość ostrosłupa) ma długość a, z kolei dłuższa przyprostokątna (która ma u nas długość 6) będzie bokiem który ma długość a√(3). Możemy więc zapisać, że:
a√(3)=6 a=6/√(3)=6 · √(3)/(√(3) · √(3))=6√(3)/3=2√(3)
Tym samym H=2√(3).
Krok 3. Obliczenie objętości ostrosłupa.
W podstawie mamy kwadrat o boku 12, z kolei wysokość naszej bryły to H=2√(3), zatem korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa, otrzymamy:
V=1/3 · P_p · H V=1/3 · 12 · 12 · 2√(3) V=288√(3)/3 V=96√(3)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.