W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(-3,0) oraz C=(5,6) są końcami przekątnej kwadratu ABCD. Kwadrat A'B'C'D' jest obrazem kwadratu ABCD w symetrii osiowej względem osi Oy. Wyznacz równanie okręgu opisanego na kwadracie A'B'C'D'. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: (x+1)²+(y−3)²=25
Krok 1. Obliczenie współrzędnych środka okręgu opisanego na kwadracie ABCD.
Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się dokładnie w połowie jego przekątnej. Korzystając ze wzoru na środek odcinka, obliczmy współrzędne środka S:
S=((x_A+x_C)/2,(y_A+y_C)/2) S=((-3+5)/2,(0+6)/2) S=(2/2,6/2) S=(1,3)
Krok 2. Obliczenie promienia okręgu opisanego na kwadracie ABCD.
Promień tego okręgu to połowa długości przekątnej AC. Obliczamy najpierw długość odcinka AC:
|AC|=√((x_C-x_A)²+(y_C-y_A)²) |AC|=√((5-(-3))²+(6-0)²) |AC|=√(8²+6²) |AC|=√(64+36) |AC|=√(100) |AC|=10
Skoro średnica wynosi 10, to promień jest równy r=5.
Krok 3. Wyznaczenie środka i równania nowego okręgu.
Kwadrat A'B'C'D' jest odbiciem symetrycznym względem osi Oy. W takiej symetrii zmienia się znak pierwszej współrzędnej punktu na przeciwny, więc nowy środek okręgu to S'=(-1,3). Promień okręgu się nie zmienia i nadal wynosi r=5. Mamy zatem już wszystkie potrzebne dane do zapisania równania okręgu, który jest opisany na nowym kwadracie:
(x-x_(S'))²+(y-y_(S'))²=r² (x-(-1))²+(y-3)²=5² (x+1)²+(y-3)²=25
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.