Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-16x²+40x+11. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji f jest parabola o wierzchołku w punkcie C. Ta parabola przecina oś Ox w punktach A oraz B. Oblicz pole trójkąta ABC. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 54
Krok 1. Ustalenie, co trzeba obliczyć.
Punkty A i B leżą na osi Ox, bo są punktami przecięcia paraboli z tą osią, więc podstawą trójkąta ABC jest odcinek AB leżący na osi Ox. Wysokością trójkąta opuszczoną na tę podstawę jest odległość wierzchołka C paraboli od osi Ox, czyli wartość bezwzględna drugiej współrzędnej wierzchołka.
Do obliczenia pola trójkąta ABC potrzebne są zatem dwie rzeczy: miejsca zerowe funkcji, bo z nich wynika długość podstawy, oraz druga współrzędna wierzchołka paraboli, która daje wysokość trójkąta.
Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Aby wyznaczyć punkty przecięcia paraboli z osią Ox, musimy sprawdzić kiedy -16x²+40x+11 przyjmuje wartość równą 0, czyli musimy po prostu rozwiązać równanie kwadratowe -16x²+40x+11=0. Jest to równanie zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: a=-16, b=40, c=11
Δ=b²-4ac=40²-4 · (-16) · 11=1600-(-704)=2304 √(Δ)=√(2304)=48
x₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-40-48)/(2 · (-16))=-88/-32=11/4 x₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-40+48)/(2 · (-16))=8/-32=-1/4
Zatem punkty przecięcia z osią Ox to A=(-1/4,0) oraz B=(11/4,0).
Krok 3. Obliczenie długości podstawy trójkąta ABC.
Podstawą trójkąta ABC jest odcinek AB, którego długość obliczymy jako różnicę:
|AB|=11/4-(-1/4) |AB|=11/4+1/4 |AB|=12/4 |AB|=3
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli i wysokości trójkąta.
Korzystając ze wzorów p=-b/(2a) oraz q=-Δ/(4a), możemy bez problemu obliczyć współrzędne wierzchołka. Nas tak naprawdę interesuje tylko druga współrzędna, bo chcemy się dowiedzieć jak wysoko nad osią Ox jest ten wierzchołek, zatem:
q=-2304/(4 · (-16)) q=-2304/-64 q=36
Tym samym wysokość naszego trójkąta to h=36.
Krok 5. Obliczenie pola trójkąta ABC.
Na koniec zostało obliczenie pola trójkąta, zatem:
P=1/2 · |AB| · h P=1/2 · 3 · 36 P=54
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.