Funkcja f jest określona następująco: f(x)= x+5 dla x ∈ [-4,-2) x+3 dla x ∈ [-2,1] -2x+5 dla x ∈ (1,3] a) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. 1. Funkcja f jest rosnąca w przedziale [-4,-2]. 2. Funkcja f jest malejąca w przedziale [1,3]. b) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Największa wartość funkcji f jest równa ........ 2. Równanie f(x)=√(5) ma ........ rozwiązania. c) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji f jest przedział ................ 2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) < 1 jest przedział ................
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) FP b) 4, 3 c) [-4, 3], (2; 3]
a) Ocena prawdziwości zdań o monotoniczności.
Zdanie 1. Zadanie ma zaszytą sporą pułapkę. Owszem, patrząc na wykres, moglibyśmy odnieść wrażenie że funkcja jest rosnąca w przedziale od -4 aż do -2, ale widzimy też, że dla argumentu x=-2 ta wartość funkcji nagle jest mniejsza (zwróć uwagę na zamalowaną kropkę). Funkcja nie jest więc rosnąca w całym podanym przedziale, zatem zdanie jest fałszem.
Zdanie 2. Dla x=1 funkcja przyjmuje wartość równą 4, a potem z każdym kolejnym argumentem, aż do x=3, ta wartość jest coraz mniejsza. Funkcja w tym przedziale jest więc malejąca, czyli zdanie jest prawdą.
b) Uzupełnianie zdań liczbami.
Zdanie 1. Z wykresu możemy wprost odczytać, że największa wartość funkcji to 4, która jest przyjmowana dla argumentu x=1.
Zdanie 2. Teoretycznie moglibyśmy sprawdzić, kiedy poszczególne wzory naszej funkcji przyjmują wartość równą √(5), ale do tego zadania można podejść znacznie sprytniej. Pytają się nas o liczbę rozwiązań, a to możemy odczytać wprost z wykresu. Wystarczy sprawdzić w ilu miejscach przyjmowana jest wartość równa √(5). Wiedząc, że √(5) ≈ 2,24 możemy bez cienia wątpliwości stwierdzić, że taka wartość jest przyjmowana aż dla trzech argumentów, więc to równanie będzie mieć po prostu 3 rozwiązania.
c) Uzupełnianie zdań przedziałami.
Zdanie 1. Z wykresu wynika, że funkcja jest określona dla x ∈ [-4,-2) ∪ [-2,1] ∪ (1,3]. Po połączeniu tych przedziałów otrzymujemy jeden przedział [-4,3].
Zdanie 2. Celem zadania jest tak naprawdę odpowiedź na pytanie, dla jakich argumentów x funkcja przyjmuje wartość mniejszą od 1. Zerkając na wykres widzimy, że zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) < 1 jest przedział (2,3].
Funkcje: Dziedzina i zbiór wartości, odczytywanie własności z wykresu, miejsca zerowe, monotoniczność i przesunięcia wykresu.