Zadania CKE z funkcji z rozwiązaniami - matura podstawowa

Funkcje to jeden z filarów matury z matematyki. W naszej bazie zebraliśmy blisko stu zadań CKE z tego działu, a na arkuszu poziomu podstawowego coś z funkcji pojawia się praktycznie co roku - od odczytu wykresu, przez dziedzinę, po wyznaczanie wartości największej. Dobra wiadomość: większość tych zadań jest powtarzalna i da się je ogarnąć w kilka dni. W tym przewodniku zbieramy wszystkie typy zadań z funkcji, pokazujemy, czego dokładnie wymaga CKE, i linkujemy do konkretnych zadań z rozwiązaniami krok po kroku. Traktuj tę stronę jak mapę: czytasz typ zadania, klikasz w przykład i ćwiczysz.

Co CKE sprawdza w zadaniach z funkcji

Zadania z funkcji na maturze podstawowej kręcą się wokół kilku stałych motywów:

• •wyznaczanie dziedziny funkcji (najczęściej wymiernej lub z pierwiastkiem),
• •obliczanie wartości funkcji dla danego argumentu,
• •odczytywanie własności z wykresu (miejsca zerowe, monotoniczność, znak funkcji),
• •wyznaczanie miejsc zerowych ze wzoru,
• •wartość największa i najmniejsza w przedziale,
• •funkcje określone różnymi wzorami na różnych przedziałach (tak zwana klamra).

Cały dział z teorią i kompletem zadań znajdziesz na stronie funkcje. Poniżej rozkładamy każdy typ na przykładzie.

Dziedzina funkcji

To absolutny klasyk i pewne punkty. Pytanie brzmi: dla jakich argumentów wzór ma sens. Reguły są dwie: mianownik nie może być zerem, a wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne.

Przykład 1. Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x-3}{x^2-4}$.

Mianownik nie może się zerować, więc $x^2-4\neq 0$, czyli $x\neq -2$ oraz $x\neq 2$. Dziedzina to $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$.

Przykład 2. Wyznacz dziedzinę funkcji $g(x)=\sqrt{x-2}$. Pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna, więc $x-2\ge 0$, czyli $x\ge 2$. Dziedzina to $D=\langle 2,+\infty)$.

Chcesz więcej? Rozwiązane zadanie z dziedziną funkcji wymiernej znajdziesz tutaj: zadanie z czerwca 2012.

Obliczanie wartości funkcji

Czasem zadanie prosi po prostu o obliczenie wartości funkcji dla konkretnego argumentu. Wtedy podstawiasz liczbę w miejsce $x$ i liczysz.

Przykład. Dla funkcji $f(x)=2x^2-3x+1$ oblicz $f(-1)$. Podstawiamy: $f(-1)=2\cdot(-1)^2-3\cdot(-1)+1=2+3+1=6$. Uważaj na znaki przy podnoszeniu liczby ujemnej do kwadratu - to najczęstsze źródło błędu w tym typie zadań.

Miejsca zerowe funkcji

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x)=0$ - czyli punkt, w którym wykres przecina oś OX. Żeby je znaleźć, przyrównujesz wzór do zera i rozwiązujesz równanie.

Przykład. Znajdź miejsca zerowe funkcji $f(x)=x^2-5x+6$.

Rozwiązujemy $x^2-5x+6=0$. Wyróżnik $\Delta=25-24=1$, stąd $x_1=2$ oraz $x_2=3$. Funkcja ma dwa miejsca zerowe: 2 i 3.

W funkcjach określonych klamrą trzeba sprawdzić każdy kawałek osobno i pilnować, czy wynik mieści się w danym przedziale. Zobacz rozwiązane zadanie z miejscami zerowymi funkcji klamrowej.

Odczytywanie własności z wykresu

To zadania, w których dostajesz gotowy wykres i masz z niego odczytać informacje. Najczęściej pytają o:

• •miejsca zerowe (gdzie wykres przecina oś OX),
• •zbiór wartości (jak wysoko i nisko sięga wykres),
• •przedziały monotoniczności (gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje),
• •argumenty, dla których funkcja jest dodatnia lub ujemna.

Kluczowa zasada: monotoniczność czytamy zawsze od lewej do prawej. Jeśli idąc w prawo wykres się wznosi, funkcja rośnie; jeśli opada, maleje. Trening odczytu z wykresu masz w osobnym poradniku odczytywanie własności funkcji z wykresu, a rozwiązane zadanie z arkusza 2025 tutaj: zadanie z wykresem funkcji.

Wartość największa i najmniejsza

Na poziomie podstawowym pytają o wartość największą lub najmniejszą funkcji w danym przedziale. Dla funkcji kwadratowej kluczowy jest wierzchołek paraboli.

Przykład. Wyznacz wartość największą funkcji $f(x)=-x^2+4x+1$.

Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane w dół i przyjmuje wartość największą w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka: $x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2$. Wartość: $f(2)=-4+8+1=5$. Największa wartość to 5.

Trudniejszy wariant z funkcją wymierną w przedziale rozwiązujemy w zadaniu o wartości największej.

Funkcje określone klamrą (przedziałami)

CKE lubi funkcje sklejane z kilku wzorów, na przykład $f(x)=\begin{cases} 2x+1 & \text{dla } x\le 0 \\ x^2 & \text{dla } x>0\end{cases}$. Zasada jest prosta: zawsze patrz, do którego przedziału należy argument, i dopiero wtedy podstawiaj do właściwego wzoru. Przy szkicowaniu wykresu rysujesz każdy kawałek tylko na jego przedziale. Zobacz rozwiązane zadania: naszkicuj wykres funkcji klamrowej oraz funkcja dana wzorem klamrowym.

Funkcja liniowa i kwadratowa jako funkcje

Dwa najważniejsze typy funkcji na maturze mają własne, rozbudowane działy. Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ ma za wykres prostą, a współczynnik $a$ decyduje o jej nachyleniu: dla $a>0$ funkcja rośnie, dla $a<0$ maleje, a dla $a=0$ jest stała. Więcej zadań znajdziesz na stronie funkcja liniowa. Funkcja kwadratowa $f(x)=ax^2+bx+c$ ma za wykres parabolę; tu kluczowe są wyróżnik, miejsca zerowe i wierzchołek. Komplet zadań masz w hubie zadania CKE z funkcji kwadratowej oraz na stronie funkcja kwadratowa.

Typy zadań z funkcji w arkuszach CKE

Jak widać, większość zadań z funkcji to poziom łatwy lub średni - czyli dokładnie te punkty, które chcesz mieć pewne. Jeśli przygotowujesz się do sierpniowej poprawki, zacznij właśnie od tego działu; rozpisaliśmy to w poradniku jak przygotować się do matury poprawkowej online.

Gdzie ćwiczyć zadania z funkcji

Najszybciej: wejdź na stronę działu funkcje i rozwiązuj zadanie po zadaniu z gotowymi rozwiązaniami. Chcesz losowo wymieszane zadania? Użyj trybu losowego. Utkniesz nad konkretnym przykładem - wrzuć go do solvera. A pełne arkusze, w których funkcje pojawiają się w naturalnym kontekście, masz w bazie egzaminów CKE. Wzory przydatne przy funkcjach (na przykład współrzędne wierzchołka paraboli) znajdziesz na karcie wzorów.

Najczęstsze pułapki

Pierwsza: zapominanie o warunku dziedziny przy funkcji wymiernej. Zawsze najpierw wyklucz miejsca zerowe mianownika.

Druga: mylenie miejsca zerowego z wartością funkcji. Miejsce zerowe to argument $x$, dla którego $f(x)=0$, a nie wartość funkcji.

Trzecia: zła monotoniczność. Czytaj wykres od lewej do prawej, nie odwrotnie.

Czwarta: w funkcji klamrowej podstawianie do złego wzoru, bo nie sprawdziłeś, do którego przedziału należy argument.

Najczęściej zadawane pytania

Zbiór wartości funkcji

Zbiór wartości to wszystkie wyniki, jakie funkcja przyjmuje. Z wykresu odczytujesz go, patrząc, jak nisko i jak wysoko sięga linia wzdłuż osi OY. Przykład: dla funkcji $f(x)=x^2$ najmniejsza wartość to 0 (w punkcie $x=0$), a wartości rosną nieograniczenie, więc zbiór wartości to $\langle 0,+\infty)$. Dla paraboli z ramionami w dół jest odwrotnie - istnieje wartość największa, a funkcja schodzi w dół bez ograniczeń. Najczęstszy błąd to mylenie zbioru wartości (oś OY) z dziedziną (oś OX).

Przesunięcia wykresu funkcji

CKE potrafi zapytać, jak zmieni się wykres po przesunięciu. Reguły są proste. Wykres $y=f(x)+a$ to przesunięcie o $a$ w górę (lub w dół dla ujemnego $a$). Wykres $y=f(x-p)$ to przesunięcie o $p$ w prawo wzdłuż osi OX. Przykład: wykres $y=f(x)-3$ ma ten sam kształt co $y=f(x)$, tylko obniżony o 3 jednostki. Najczęstszy błąd to mylenie kierunku przy $f(x-p)$ - odejmowanie w argumencie przesuwa wykres w prawo, nie w lewo. Więcej o tym w poradniku przekształcenia wykresów funkcji.

Funkcje a inne działy matury

Funkcje nie żyją w próżni - przeplatają się z innymi działami. Miejsca zerowe sprowadzają się do rozwiązywania równań, więc warto zajrzeć do zadań CKE z równań i nierówności. Wykresy funkcji liniowych łączą się z geometrią analityczną, a ciągi to w istocie funkcje określone na liczbach naturalnych - sprawdź zadania CKE z ciągów. Im więcej działów ogarniesz, tym łatwiej rozpoznasz znajomy schemat w nowym zadaniu. Pełną listę tematów masz w katalogu.

Plan nauki funkcji na tydzień

Jeśli masz tydzień na ten dział, rozłóż go tak: dzień 1 to dziedzina i wartość funkcji, dzień 2 to miejsca zerowe, dni 3 i 4 to odczyt własności z wykresu (najczęstszy typ na arkuszu), dzień 5 to wartość największa i najmniejsza, dzień 6 to funkcje klamrowe, a dzień 7 to powtórka i jeden pełny arkusz, w którym wyłapiesz zadania z funkcji w naturalnym otoczeniu. Codziennie rozwiązuj od 5 do 8 zadań i zawsze sprawdzaj rozwiązania. Po tygodniu funkcje przestaną być działem, którego się boisz, a staną się pewnym źródłem punktów.

Podsumowanie

Funkcje to dział, w którym łatwo zbić pewne punkty - pod warunkiem że ogarniesz kilka powtarzalnych schematów: dziedzinę, wartość funkcji, miejsca zerowe, odczyt z wykresu, wartość największą i funkcje klamrowe. Każdy z tych typów masz rozpisany wyżej z przykładem i linkiem do rozwiązanego zadania. Teraz najlepsze, co możesz zrobić, to usiąść i rozwiązać kilka zadań samodzielnie. Zacznij na stronie działu funkcje albo wylosuj zadanie i sprawdź, ile już umiesz.

Następny krok Losuj kolejne zadanie