Funkcja określona przedziałami (klamrą) - dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe i równanie f(x) = c w zadaniach maturalnych

Pierwszy kawałek

Dla $x \le 2$ rozwiązujesz $2x - 6 = 0$ i dostajesz $x = 3$. Ale $3 > 2$, więc ta liczba nie należy do przedziału pierwszego kawałka i odpada. Pierwszy wzór nie daje żadnego miejsca zerowego.

Drugi kawałek

Dla $x > 2$ rozwiązujesz $x - 4 = 0$ i dostajesz $x = 4$. Warunek $4 > 2$ jest spełniony, więc to jest miejsce zerowe.

Sprawdzenie

$f(4) = 4 - 4 = 0$. Dla porównania $f(3) = 3 - 4 = -1$, bo trójkę obsługuje drugi wzór, nie pierwszy.

Dziedzina

Sklejasz przedziały z klamry: $[-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 4) = [-4, 4)$. Czwórka odpada, bo ostatni przedział jest przy niej otwarty.

Zbiór wartości

Pierwszy kawałek jest rosnący i daje wartości od $f(-4) = 1$ do $f(-2) = 3$, czyli $[1, 3]$. Drugi daje samą liczbę $3$. Trzeci jest malejący, na końcach ma $3$ i $-3$, a oba końce są otwarte, więc daje $(-3, 3)$. Suma to $(-3, 3]$.

Wartości dodatnie

Pierwszy kawałek ma wszystkie wartości co najmniej równe $1$, więc cały przedział $[-4, -2]$ się liczy. Drugi ma stale $3$, więc cały $(-2, 2]$. Z trzeciego: $-3x + 9 > 0$ daje $x < 3$, a razem z przedziałem $(2, 4)$ zostaje $(2, 3)$. Suma to $[-4, 3)$.

Równanie z trójką

Pierwszy kawałek: $x + 5 = 3$, czyli $x = -2$, a $-2$ należy do $[-4, -2]$. Drugi kawałek: równanie spełnia każdy $x$ z $(-2, 2]$. Trzeci: $-3x + 9 = 3$ daje $x = 2$, ale $2 \notin (2, 4)$. Suma to $\{-2\} \cup (-2, 2] = [-2, 2]$.

Rozwiąż równanie

Pierwszy kawałek: $x + 2 = 3$, czyli $x = 1$, a $1 \in [-4, 2]$, więc pasuje. Drugi: $-x + 5 = 3$, czyli $x = 2$, ale $2 \notin (2, 5)$, więc odpada. Jedyne rozwiązanie to $x = 1$.

Największa wartość w przedziale

Argument $2$ należy do pierwszego wiersza, więc $f(2) = 2 + 2 = 4$. Dla $x \in (2, 3]$ działa drugi wzór: $-x + 5$ maleje od wartości dowolnie bliskich $3$ do $f(3) = 2$. Największa wartość w $[2, 3]$ to $f(2) = 4$, a nie $3$.

Zbiór wartości

Pierwszy kawałek jest rosnący: od $f(-4) = -2$ do $f(2) = 4$, czyli $[-2, 4]$. Drugi jest malejący, ma oba końce otwarte i daje wartości z $(0, 3)$. Ten przedział leży w całości wewnątrz pierwszego, więc zbiór wartości to $[-2, 4]$.

Rozwiąż nierówność

Pierwszy kawałek: $x + 2 > 1$, czyli $x > -1$, razem z $[-4, 2]$ daje $(-1, 2]$. Drugi: $-x + 5 > 1$, czyli $x < 4$, razem z $(2, 5)$ daje $(2, 4)$. Suma to $(-1, 2] \cup (2, 4) = (-1, 4)$.

Dziedzina

$(-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 4] = (-4, 4]$.

Zbiór wartości

Pierwszy kawałek daje tylko $3$. Drugi jest malejący: przy argumentach bliskich $-2$ ma wartości bliskie $-(-2) + 1 = 3$, ale sam argument $-2$ do niego nie należy, a $f(2) = -1$. Daje więc $[-1, 3)$. Trzeci jest rosnący: przy argumentach bliskich $2$ ma wartości bliskie $-1$, bez samej $-1$, a $f(4) = 1$, więc daje $(-1, 1]$. Suma to $[-1, 3]$. Trójka należy do zbioru wartości, mimo że na wykresie przy lewym końcu drugiego odcinka stoi pusta kropka, bo trójkę przyjmuje pierwszy kawałek.

Wartości ujemne

Pierwszy kawałek nigdy nie jest ujemny. Drugi: $-x + 1 < 0$, czyli $x > 1$, razem z $(-2, 2]$ daje $(1, 2]$. Trzeci: $x - 3 < 0$, czyli $x < 3$, razem z $(2, 4]$ daje $(2, 3)$. Suma to $(1, 3)$.

Wartość największa

Największa wartość to $3$. Przyjmuje ją cały pierwszy kawałek, czyli argumenty z $(-4, -2]$. Drugi kawałek trójki nie osiąga, bo $-x + 1 = 3$ daje $x = -2$, spoza $(-2, 2]$. Trzeci też nie, bo jego wartości nie przekraczają $1$.

Dziedzina i kawałek stały

$[-5, -2) \cup [-2, 1] \cup (1, 4) = [-5, 4)$. Stały jest tylko pierwszy wiersz: $f(x) = 4$ dla $x \in [-5, -2)$.

Miejsca zerowe

Pierwszy kawałek: $4 \ne 0$, brak. Drugi: $-2x = 0$, czyli $x = 0$, a $0 \in [-2, 1]$. Trzeci: $x - \frac{5}{2} = 0$, czyli $x = \frac{5}{2}$, a $\frac{5}{2} \in (1, 4)$. Suma miejsc zerowych to $0 + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$.

Zamień ułamek okresowy

$-1{,}(3) = -1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$. Jak robić to przy dowolnym okresie, pokazuję we wpisie o zamianie ułamka okresowego na zwykły.

Rozwiąż na każdym kawałku

Pierwszy: $4 \ne -\frac{4}{3}$, brak. Drugi: $-2x = -\frac{4}{3}$, czyli $x = \frac{2}{3}$, a $\frac{2}{3} \in [-2, 1]$. Trzeci: $x - \frac{5}{2} = -\frac{4}{3}$, czyli $x = \frac{15}{6} - \frac{8}{6} = \frac{7}{6}$, a $\frac{7}{6} \in (1, 4)$.

Sprawdź monotoniczność

Oba wzory $x + 4$ i $x + 1$ są rosnące, ale na styku jest skok w dół: $f(-2) = 2$, a $f(-1) = -1 + 1 = 0$. Większy argument dał mniejszą wartość, więc funkcja nie jest rosnąca w $[-3, -1]$. Jest rosnąca w $[-3, -1)$ i osobno w $[-1, 2]$.

Największa wartość

Pierwszy kawałek daje wartości $[1, 3)$, bo argument $-1$ do niego nie należy. Drugi daje od $f(-1) = 0$ do $f(2) = 3$, czyli $[0, 3]$. Trzeci jest malejący: przy argumentach bliskich $2$ ma wartości bliskie $3$, bez samej trójki, a $f(4) = 1$, więc daje $[1, 3)$. Największa wartość to $3$, przyjmowana tylko dla $x = 2$.

Równanie z dwójką

Pierwszy kawałek: $x + 4 = 2$, czyli $x = -2 \in [-3, -1)$. Drugi: $x + 1 = 2$, czyli $x = 1 \in [-1, 2]$. Trzeci: $-x + 5 = 2$, czyli $x = 3 \in (2, 4]$. Trzy rozwiązania.

Równanie z trójką

Pierwszy kawałek: $x = -1$, ale $-1 \notin [-3, -1)$. Drugi: $x = 2 \in [-1, 2]$. Trzeci: $x = 2$, ale $2 \notin (2, 4]$. Jedno rozwiązanie.