Nierówność liniowa - jak rozwiązać krok po kroku, zbiór rozwiązań i najmniejsza liczba całkowita (zadania maturalne)

Nierówność liniową, na przykład $3x - 5 < 7$, rozwiązujesz tak samo jak równanie liniowe: wyrazy z $x$ przenosisz na jedną stronę, liczby na drugą i dzielisz przez współczynnik przy $x$. Różnica jest jedna. Gdy mnożysz albo dzielisz obie strony przez liczbę ujemną, zmieniasz znak nierówności na przeciwny. Wynik zapisujesz jako przedział: z $3x - 5 < 7$ dostajesz $3x < 12$, czyli $x < 4$, a więc $x \in (-\infty, 4)$.

Na maturze podstawowej nierówność liniowa to zwykle zadanie zamknięte za 1 punkt, jedno z pierwszych w arkuszu. W każdym majowym arkuszu z lat 2020-2025 jest przynajmniej jedno takie zadanie, a w nowej formule pojawiło się między innymi w maju 2024 (zadanie 6) i w czerwcu 2025 (zadanie 6). Pytanie przyjmuje trzy formy: podaj zbiór rozwiązań jako przedział, zaznacz go na osi liczbowej albo wskaż najmniejszą, największą lub liczbę wszystkich liczb całkowitych, które nierówność spełniają. Rachunek w każdej z nich jest ten sam, a punkty giną na trzech rzeczach: na minusie przed ułamkiem, na zapomnianej zmianie znaku i na zaokrągleniu w złą stronę.

Jak rozwiązać nierówność liniową krok po kroku

Pozbądź się ułamków, mnożąc obie strony przez wspólny mianownik. Wymnóż nawiasy. Wyrazy z $x$ przenieś na jedną stronę, liczby na drugą. Podziel przez współczynnik przy $x$, a jeśli jest ujemny, odwróć znak nierówności. Na końcu zapisz wynik jako przedział albo zaznacz go na osi.

1. 1.Usuń ułamki. Pomnóż obie strony przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników. To liczba dodatnia, więc znak zostaje. Mnożysz każdy wyraz, także ten bez ułamka.
2. 2.Wymnóż nawiasy. Minus przed ułamkiem albo nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w środku: $-\frac{1 - 2x}{2}$ po pomnożeniu przez $2$ daje $-(1 - 2x) = -1 + 2x$.
3. 3.Uporządkuj. Wyrazy z $x$ na jedną stronę, liczby na drugą. Przeniesienie wyrazu na drugą stronę zmienia znak tego wyrazu, ale nie zmienia znaku nierówności.
4. 4.Podziel przez współczynnik przy $x$. Gdy jest dodatni, znak zostaje. Gdy jest ujemny, znak zmienia się na przeciwny.
5. 5.Zapisz odpowiedź. Nierówność ostra daje przedział otwarty na końcu, nieostra domknięty.

W arkuszach nowej formuły przedział domknięty zobaczysz też z nawiasem kwadratowym: $[-4, +\infty)$ znaczy to samo co $\langle -4, +\infty)$. Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły. Działania na przedziałach, czyli sumę i część wspólną, omawiam osobno we wpisie o [działaniach na przedziałach liczbowych.

Kiedy zmienić znak nierówności

Znak nierówności zmieniasz tylko wtedy, gdy mnożysz albo dzielisz obie strony przez liczbę ujemną. Przenoszenie wyrazów na drugą stronę, dodawanie i odejmowanie tej samej liczby oraz mnożenie przez liczbę dodatnią znaku nie zmieniają.

Dlaczego tak jest? $-2 < 3$ to prawda, ale po pomnożeniu obu liczb przez $-1$ dostajesz $2$ i $-3$, a $2 > -3$. Mnożenie przez liczbę ujemną odbija liczby na osi względem zera, więc odwraca ich kolejność, a razem z nią nierówność.

Dzielenia przez liczbę ujemną możesz w ogóle uniknąć. Przenieś wyrazy z $x$ na tę stronę, po której współczynnik wyjdzie dodatni. Nierówność $6 - 9x < 4 - 6x$ da się rozwiązać na dwa sposoby:

Wynik jest ten sam, a w drugiej wersji nie ma okazji zapomnieć o zmianie znaku. Uważaj też na współczynnik, który nie wygląda na ujemny: $\sqrt{3} - 2$ jest ujemne, bo $\sqrt{3} \approx 1{,}73$. Dzielenie przez taką liczbę też odwraca znak.

Najmniejsza i największa liczba całkowita spełniająca nierówność

Najpierw rozwiąż nierówność do końca, potem zaznacz wynik na osi i idź od końca przedziału w stronę rozwiązań. Przy $x > a$ najmniejszą liczbą całkowitą jest pierwsza liczba całkowita na prawo od $a$. Przy $x \ge a$ jest nią samo $a$, jeśli $a$ jest liczbą całkowitą.

Przy liczbach ujemnych myśl o osi, a nie o cyfrach. Na prawo od $-2{,}5$ leży $-2$, a nie $-3$. Na lewo od $-4$ leży $-5$.

Gdy pytają, ile liczb całkowitych spełnia nierówność, wypisz najmniejszą i największą, a potem policz: od $m$ do $n$ włącznie jest $n - m + 1$ liczb całkowitych. Przy $4 < x < \frac{56}{3}$ najmniejsza to $5$, największa to $18$, więc liczb jest $18 - 5 + 1 = 14$. Jeśli pytanie dotyczy liczb całkowitych dodatnich, dochodzi jeszcze warunek $x \ge 1$.

Nierówność, która tylko udaje kwadratową

Czasem w treści stoi kwadrat, a po wymnożeniu $x^2$ się skraca i zostaje zwykła nierówność liniowa. Przykład:

Do rozpisania kwadratu sumy potrzebujesz wzorów skróconego mnożenia. Zdarza się też, że po uproszczeniu znika całe $x$. Wtedy patrzysz na to, co zostało:

• •$2(x + 1) > 2x - 5$ daje $2 > -5$, zdanie prawdziwe, więc nierówność spełnia każda liczba rzeczywista,
• •$3x - 1 < 3(x - 1)$ daje $-1 < -3$, zdanie fałszywe, więc nierówność nie ma rozwiązań.

Prawdziwa nierówność kwadratowa, w której $x^2$ zostaje, wymaga już miejsc zerowych i paraboli. Tę metodę opisuję we wpisie jak rozwiązać nierówność kwadratową krok po kroku.

Wzory

Zamiast $>$ może stać dowolny inny znak nierówności. Zasada jest ta sama: dzielenie przez liczbę ujemną zamienia $>$ na $<$, $\ge$ na $\le$ i odwrotnie.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej kolejne zadania maturalne z nierówności liniowych: zbiory rozwiązań z ułamkami i jedno pytanie o największą liczbę całkowitą. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie Równania i nierówności, a przegląd wszystkich typów nierówności z matury masz we wpisie nierówności na maturze: liniowe, kwadratowe i z wartością bezwzględną. Nierówności z modułem, które na osi wyglądają podobnie, rozwiązuje się inaczej: opisuję je we wpisie jak rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną.

• Matura maj 2022Zadanie 71 pkt
  Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\gt \frac{x}{5}$ jest przedział
• Matura sierpień 2021Zadanie 61 pkt
  Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $5-\frac{2-6x}{4}\ge2x+1$ jest przedział
• Matura maj 2021Zadanie 61 pkt
  Zbiorem wszystkich rozwiązań nieróności $\frac{2-x}{2}-2x\ge1$ jest przedział
• Matura sierpień 2022Zadanie 61 pkt
  Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $\frac{8x-3}{4}\gt6x$ jest przedział
• Matura próbna marzec 2021Zadanie 71 pkt
  Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{12-5x}{2}\lt3\Bigl(1-\frac{1}{2}x\Bigl)+7x$ jest
• Matura próbna marzec 2012 (1)Zadanie 81 pkt
  Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $(4 + x)^2 \lt (x - 4)(x + 4)$ jest

Najczęstsze pytania