Zbiór wartości funkcji - jak wyznaczyć krok po kroku

Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich liczb, które funkcja może wypluć jako wynik, czyli zbiór wszystkich $y$, dla których istnieje $x$ z dziedziny spełniający $f(x) = y$. Oznaczamy go $ZW_f$. Żeby go wyznaczyć, sprawdzasz najmniejszą i największą wartość funkcji oraz to, czy funkcja przyjmuje wszystko pomiędzy nimi. Dla funkcji liniowej $f(x) = ax + b$ z $a \neq 0$ zbiorem wartości jest $\mathbb{R}$, dla funkcji kwadratowej z ramionami w górę jest to $\langle q, +\infty)$, gdzie $q$ to druga współrzędna wierzchołka, a dla $f(x) = 2^x - 3$ jest to $(-3, +\infty)$.

W bazie zadań CKE pytanie o zbiór wartości pojawia się w dwóch postaciach: jako polecenie "odczytaj z wykresu i zapisz zbiór wartości" (tak było w zadaniu 26 z matury maj 2011) oraz jako część zadania otwartego, w którym najpierw wyznaczasz wzór albo rysujesz wykres, a dopiero potem podajesz zbiór wartości. Poniżej masz schemat, który obsługuje oba warianty, i komplet typów funkcji z matury podstawowej.

Zbiór wartości a dziedzina - czym się różnią

Dziedzina to zbiór dozwolonych $x$, czyli argumentów. Zbiór wartości to zbiór otrzymanych $y$, czyli wyników. Na wykresie dziedzinę czytasz, rzutując wykres na oś $OX$ (poziomo), a zbiór wartości, rzutując go na oś $OY$ (pionowo). To jedno zdanie ratuje najwięcej punktów, bo połowa błędów w tym temacie to zwykłe pomylenie osi.

Kolejność pracy zawsze jest taka sama: najpierw dziedzina, potem zbiór wartości. Jeśli nie masz pewności, jak wyznaczyć dziedzinę dla funkcji z pierwiastkiem, logarytmem albo ułamkiem, zajrzyj do poradnika jak wyznaczyć dziedzinę funkcji krok po kroku, bo bez poprawnej dziedziny zbiór wartości też wyjdzie zły.

Uwaga na słownictwo. Zbiór wartości to nie to samo co przeciwdziedzina. Przeciwdziedzina to zbiór, w którym mieszczą się wyniki (najczęściej $\mathbb{R}$), a zbiór wartości to dokładnie te wyniki, które funkcja realnie osiąga. Na maturze pytają zawsze o ten drugi.

Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji - schemat w 4 krokach

Zbiór wartości wyznaczasz w czterech ruchach: ustalasz dziedzinę, rozpoznajesz typ funkcji, znajdujesz wartość graniczną (wierzchołek, asymptotę albo wynik na krańcach przedziału) i zapisujesz przedział, pamiętając o tym, czy koniec jest domknięty. Ten sam schemat działa dla wzoru i dla wykresu.

Krok 1: wyznacz dziedzinę. Bez tego nie wiesz, jakie $x$ wolno wstawiać, a więc nie wiesz, jakie $y$ mogą powstać.

Krok 2: rozpoznaj typ funkcji. Liniowa, kwadratowa, wykładnicza, wymierna, z pierwiastkiem, z wartością bezwzględną, trygonometryczna. Każdy typ ma swój gotowy schemat, który znajdziesz niżej.

Krok 3: znajdź wartość graniczną. Dla kwadratowej to $q$ z wierzchołka, dla wykładniczej i wymiernej to asymptota pozioma, dla pierwiastka i wartości bezwzględnej to najmniejsza możliwa wartość, dla dziedziny ograniczonej to wartości na krańcach przedziału.

Krok 4: zapisz przedział i sprawdź nawiasy. Nawias ostry $\langle$ oznacza, że wartość jest osiągana, nawias okrągły $($ oznacza, że nie jest. Asymptota nigdy nie należy do zbioru wartości, wierzchołek paraboli zawsze należy.

Zbiór wartości funkcji liniowej

Dla funkcji liniowej $f(x) = ax + b$ określonej na całym $\mathbb{R}$ sprawa jest krótka. Jeśli $a \neq 0$, zbiorem wartości jest $\mathbb{R}$, bo prosta ukośna rośnie lub maleje bez ograniczeń. Jeśli $a = 0$, funkcja jest stała i zbiorem wartości jest jednoelementowy zbiór $\{b\}$.

$f(x) = -3x + 7 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = \mathbb{R}$ $f(x) = 5 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = \{5\}$

Pułapka pojawia się, gdy funkcja liniowa jest określona tylko na przedziale. Wtedy zbiorem wartości jest przedział między wartościami na krańcach. Więcej przykładów z parametrem znajdziesz w tekście o funkcji liniowej z parametrem.

Przykład. Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x) = 2x - 1$ dla $x \in \langle -1, 3)$.

Krok 1: sprawdź monotoniczność. $a = 2 > 0$, więc funkcja jest rosnąca.

Krok 2: policz wartości na krańcach. $f(-1) = -3$, $f(3) = 5$.

Krok 3: przenieś typ nawiasów. Skoro funkcja jest rosnąca, lewy kraniec przechodzi na lewy, a prawy na prawy: $ZW_f = \langle -3, 5)$.

Zbiór wartości funkcji kwadratowej

Dla funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$ określonej na $\mathbb{R}$ zbiór wartości zależy tylko od znaku $a$ i od drugiej współrzędnej wierzchołka $q$. Gdy $a > 0$, ramiona idą w górę i $ZW_f = \langle q, +\infty)$. Gdy $a < 0$, ramiona idą w dół i $ZW_f = (-\infty, q\rangle$. Wierzchołek zawsze należy do zbioru wartości, więc nawias przy $q$ jest ostry.

Wierzchołek liczysz ze wzorów:

$p = \frac{-b}{2a}, \qquad q = \frac{-\Delta}{4a}, \qquad \Delta = b^2 - 4ac$

Przykład 1. Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$.

Krok 1: sprawdź znak $a$. $a = -2 < 0$, więc ramiona paraboli są skierowane w dół, a funkcja ma wartość największą.

Krok 2: policz $p$. $p = \frac{-4}{2 \cdot (-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$.

Krok 3: policz $q$. Najszybciej przez podstawienie: $q = f(1) = -2 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 1 = 3$. Kontrolnie ze wzoru: $\Delta = 16 - 4 \cdot (-2) \cdot 1 = 24$, więc $q = \frac{-24}{4 \cdot (-2)} = 3$.

Krok 4: zapisz odpowiedź. $ZW_f = (-\infty, 3\rangle$.

Przykład 2. Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x) = x^2 - 6x + 5$ określonej dla $x \in \langle 0, 2 \rangle$.

Krok 1: znajdź wierzchołek. $p = \frac{6}{2} = 3$, $q = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$.

Krok 2: sprawdź, czy wierzchołek leży w dziedzinie. $3 \notin \langle 0, 2 \rangle$, więc wartość $-4$ NIE jest osiągana. To jest cała trudność tego zadania.

Krok 3: ustal monotoniczność na przedziale. Ramiona w górę, wierzchołek w $x = 3$, więc na lewo od trójki funkcja maleje. Na całym $\langle 0, 2 \rangle$ funkcja jest malejąca.

Krok 4: policz wartości na krańcach. $f(0) = 5$, $f(2) = 4 - 12 + 5 = -3$. Zatem $ZW_f = \langle -3, 5 \rangle$.

Ten typ zadania ma osobny, rozbudowany poradnik: najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale. Tam liczysz dwie konkretne liczby, tutaj zapisujesz cały przedział wyników, ale metoda jest ta sama. Jeśli chcesz najpierw poćwiczyć sam szkic paraboli, zacznij od tekstu o tym, jak narysować wykres funkcji kwadratowej, a komplet zadań z tego działu znajdziesz w kategorii funkcja kwadratowa.

Zbiór wartości funkcji wykładniczej

Funkcja wykładnicza $f(x) = a^x$ dla $a > 0$ i $a \neq 1$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, więc $ZW_f = (0, +\infty)$. Zero nigdy nie należy do zbioru wartości, bo potęga o dodatniej podstawie nie może się wyzerować. Prosta $y = 0$ jest asymptotą poziomą i to ona wyznacza otwarty koniec przedziału.

Gdy do wzoru dochodzi przesunięcie pionowe, cały zbiór wartości przesuwa się razem z wykresem:

$f(x) = 2^x - 3 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = (-3, +\infty)$ $f(x) = -3^x + 1 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = (-\infty, 1)$

W drugim przykładzie minus przed potęgą odbija wykres względem osi $OX$, więc wartości są mniejsze od jedynki i nigdy jej nie osiągają. Zasada ogólna: dla $f(x) = c \cdot a^{x} + q$ asymptotą poziomą jest $y = q$, a zbiór wartości to $(q, +\infty)$ przy $c > 0$ i $(-\infty, q)$ przy $c < 0$.

Dokładnie o taki zapis prosiło zadanie z arkusza próbnego, w którym trzeba było narysować wykres $f(x) = 2^x - 3$ i podać zbiór wartości. Więcej ćwiczeń tego typu masz w poradniku o funkcji wykładniczej na maturze, a mechanikę samych przesunięć tłumaczy tekst o przekształceniach wykresów funkcji.

Zbiór wartości funkcji z pierwiastkiem i z wartością bezwzględną

Pierwiastek arytmetyczny i wartość bezwzględna mają wspólną cechę: nigdy nie dają wyniku ujemnego. To one wyznaczają dolne ograniczenie zbioru wartości, a wszystko, co dodajesz na zewnątrz, przesuwa ten poziom.

$f(x) = \sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad ZW_f = \langle 0, +\infty)$ $f(x) = \sqrt{x - 1} + 2 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = \langle 2, +\infty)$ $f(x) = |x + 1| - 4 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = \langle -4, +\infty)$ $f(x) = -|x| + 3 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = (-\infty, 3\rangle$

Zwróć uwagę na nawiasy. Tutaj wartość graniczna jest osiągana, bo pierwiastek z zera to zero, a wartość bezwzględna zera też wynosi zero. Dlatego nawias jest ostry, w odróżnieniu od funkcji wykładniczej, gdzie granica jest tylko asymptotą. To najczęściej mylona para w całym temacie.

Zbiór wartości funkcji wymiernej i hiperboli

Dla funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ z $a \neq 0$ zbiorem wartości jest $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Ułamek o niezerowym liczniku nigdy nie da zera, więc z całej osi $OY$ wypada dokładnie jeden punkt. Po przesunięciu wykresu asymptota pozioma przesuwa się razem z nim:

$f(x) = \frac{3}{x - 2} + 1 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$

Schemat jest prosty: znajdź asymptotę poziomą $y = q$ i wyrzuć $q$ ze zbioru liczb rzeczywistych. Szerzej o tej rodzinie funkcji piszemy w tekście o proporcjonalności odwrotnej i wykresie hiperboli.

Zbiór wartości funkcji trygonometrycznej

Sinus i cosinus przyjmują wartości od $-1$ do $1$ włącznie, więc każdą funkcję postaci $f(x) = a \sin x + b$ obsługujesz jednym rachunkiem na końcach tego przedziału.

Przykład. Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x) = 2\sin x + 1$.

Krok 1: zapisz zakres funkcji bazowej. $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$.

Krok 2: pomnóż przez współczynnik. $-2 \leqslant 2\sin x \leqslant 2$.

Krok 3: dodaj wyraz wolny. $-1 \leqslant 2\sin x + 1 \leqslant 3$, czyli $ZW_f = \langle -1, 3 \rangle$.

Gdy współczynnik przy sinusie jest ujemny, nierówności zmieniają zwrot, więc na końcu i tak zapisz mniejszą liczbę z lewej strony. Wykresy i okresy tych funkcji rozkłada na czynniki pierwsze tekst o wykresie funkcji sinus i cosinus.

Jak odczytać zbiór wartości z wykresu

Zbiór wartości z wykresu odczytujesz, patrząc wyłącznie na oś $OY$. Rzutujesz cały wykres poziomo na tę oś i zaznaczasz, jaki fragment osi został pokryty. Bierzesz najniższy i najwyższy punkt wykresu, a potem sprawdzasz kropki: kropka zamalowana to nawias ostry, kropka pusta to nawias okrągły.

To najczęstsza forma tego zadania na maturze podstawowej. W zadaniu 26 z matury maj 2011 trzeba było odczytać z wykresu zbiór wartości oraz przedział maksymalnej długości, w którym funkcja maleje. W zadaniu 11 z matury czerwiec 2024 analizowano wykres wraz z punktami przecięcia z prostą poziomą, co jest tym samym pomysłem widzianym z drugiej strony: prosta $y = c$ przecina wykres wtedy i tylko wtedy, gdy $c$ należy do zbioru wartości.

Zapamiętaj tę równoważność, bo zamienia trudne pytanie na łatwe: liczba rozwiązań równania $f(x) = c$ jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu z poziomą prostą $y = c$. Jeśli $c$ nie należy do zbioru wartości, rozwiązań nie ma wcale. Pozostałe własności odczytywane z rysunku zebraliśmy w poradniku o odczytywaniu własności funkcji z wykresu.

Zbiór wartości funkcji określonej tabelką

Czasem funkcja nie ma wzoru, tylko jest podana opisem albo tabelą. Wtedy zbiór wartości to po prostu zbiór wszystkich wyników, wypisany bez powtórzeń i w nawiasach klamrowych.

W jednym z zadań maturalnych funkcja przyporządkowywała liczbie całkowitej dodatniej ostatnią cyfrę jej kwadratu. Wystarczy sprawdzić kwadraty liczb od $1$ do $10$: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$. Ostatnie cyfry to $1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0$, a po usunięciu powtórzeń zostaje $ZW_f = \{0, 1, 4, 5, 6, 9\}$, czyli sześć elementów. Dalej cyfry się cyklicznie powtarzają, bo ostatnia cyfra kwadratu zależy tylko od ostatniej cyfry liczby.

Typowe pułapki

Pomylenie osi. Dziedzina to oś $OX$, zbiór wartości to oś $OY$. Zanim zapiszesz odpowiedź, powiedz sobie na głos, którą oś czytasz.

Zapomniana dziedzina ograniczona. Gdy w treści stoi "dla $x \in \langle 0, 2 \rangle$", nie wolno automatycznie wpisać $\langle q, +\infty)$. Najpierw sprawdź, czy wierzchołek w ogóle leży w tym przedziale.

Zły nawias przy asymptocie. Dla $f(x) = 2^x - 3$ poprawna odpowiedź to $(-3, +\infty)$, a nie $\langle -3, +\infty)$. Wartość $-3$ nie jest osiągana dla żadnego $x$.

Nieskończoność w nawiasie ostrym. Zapis $\langle 3, +\infty \rangle$ jest błędny zawsze. Przy symbolu nieskończoności nawias jest wyłącznie okrągły.

Wypisywanie wartości z powtórzeniami. W zbiorze każdy element występuje raz. Zapis $\{1, 1, 4\}$ to $\{1, 4\}$.

Mylenie zbioru wartości z miejscami zerowymi. Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x) = 0$, czyli liczba na osi $OX$. Jeśli mylisz te pojęcia, odśwież temat w tekście o tym, jak znajdować miejsca zerowe funkcji.

Checklista: co musisz umieć

Kiedy schemat masz już w głowie, przećwicz go na zadaniach z kategorii funkcje oraz na całych arkuszach, na przykład z matury maj 2025. Pozostałe własności, o które pytają w tym samym zadaniu, znajdziesz w przewodniku o własnościach funkcji: parzystości, różnowartościowości i funkcji odwrotnej.

Najczęstsze pytania

Następny krok Losuj kolejne zadanie