Funkcja wymierna f jest dana wzorem f(x)=(x²+2x-3)/(x²-3x-6). Wyznacz wszystkie wartości argumentu, dla których funkcja f przyjmuje wartość 2.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x=-1 lub x=9
Szukamy wszystkich x, dla których f(x) = 2.
Krok 1: Zapisanie równania
f(x) = 2
(x²+2x-3)/(x²-3x-6) = 2
Krok 2: Określenie dziedziny
Mianownik musi być różny od zera: x²-3x-6 ≠ 0
Δ= 9 + 24 = 33
x ≠ (3 ± √(33))/2
Krok 3: Rozwiązanie równania
Mnożymy obie strony przez mianownik (przy założeniu, że x²-3x-6 ≠ 0):
x²+2x-3 = 2(x²-3x-6)
x²+2x-3 = 2x²-6x-12
Przenosimy wszystko na lewą stronę:
x²+2x-3 - 2x²+6x+12 = 0
-x²+8x+9 = 0
Mnożymy przez -1:
x²-8x-9 = 0
Krok 4: Rozwiązanie równania kwadratowego
Δ= 64 + 36 = 100
x = (8 ± 10)/2
x₁ = (8+10)/2 = 9
x₂ = (8-10)/2 = -1
Krok 5: Sprawdzenie dziedziny
Sprawdzamy, czy x₁ = 9 i x₂ = -1 należą do dziedziny:
Dla x = 9: x²-3x-6 = 81-27-6 = 48 ≠ 0 ✓
Dla x = -1: x²-3x-6 = 1+3-6 = -2 ≠ 0 ✓
Obie wartości należą do dziedziny.
Odpowiedź:
Funkcja f przyjmuje wartość 2 dla x = -1 oraz x = 9.
Funkcje: Dziedzina i zbiór wartości, odczytywanie własności z wykresu, miejsca zerowe, monotoniczność i przesunięcia wykresu.