Wyznacz wartość największą funkcji f(x)=1/(x²+4x-1) w przedziale ⟨1,3⟩.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 1/4
Szukamy wartości największej funkcji f(x)=1/(x²+4x-1) w przedziale ⟨1,3⟩.
## Krok 1: Analiza funkcji
Funkcja f(x)=1/(x²+4x-1) jest ilorazem, gdzie licznik jest stały (równy 1). Wartość funkcji będzie największa, gdy mianownik g(x)=x²+4x-1 osiągnie wartość najmniejszą (przy założeniu, że mianownik jest dodatni).
## Krok 2: Badanie mianownika
Funkcja g(x)=x²+4x-1 jest parabolą o współczynniku przy x² równym 1 > 0, więc ramiona paraboli skierowane są do góry.
Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie: x_w = -b/(2a) = -4/(2 · 1) = -2
Ponieważ x_w = -2 ∉ ⟨1,3⟩, a parabola ma minimum w x=-2 i rośnie dla x > -2, to w przedziale ⟨1,3⟩ funkcja g(x) jest rosnąca.
## Krok 3: Wartości na krańcach przedziału
Skoro g(x) rośnie w przedziale ⟨1,3⟩, to: - najmniejsza wartość g(x) występuje dla x=1 - największa wartość g(x) występuje dla x=3
Obliczamy wartości:
Dla x=1: g(1) = 1² + 4 · 1 - 1 = 1 + 4 - 1 = 4
Dla x=3: g(3) = 3² + 4 · 3 - 1 = 9 + 12 - 1 = 20
## Krok 4: Wartości funkcji f(x)
Dla x=1: f(1) = 1/g(1) = 1/4
Dla x=3: f(3) = 1/g(3) = 1/20
## Krok 5: Porównanie wartości
Ponieważ 1/4 > 1/20, największa wartość funkcji f(x) w przedziale ⟨1,3⟩ wynosi:
1/4
i jest osiągana dla x=1.
Funkcje: Dziedzina i zbiór wartości, odczytywanie własności z wykresu, miejsca zerowe, monotoniczność i przesunięcia wykresu.