Funkcja f, której dziedziną jest zbiór ⟨-1,5⟩, jest określona wzorem f(x)=-x²+6x+5. Wyznacz zbiór wszystkich wartości funkcji f.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: ⟨-2,14⟩
Mamy funkcję f(x) = -x² + 6x + 5 określoną na przedziale ⟨-1, 5⟩.
Krok 1: Identyfikacja typu funkcji
To funkcja kwadratowa o współczynniku a = -1 < 0, więc parabola ma ramiona skierowane w dół.
Krok 2: Wyznaczenie wierzchołka paraboli
Współrzędna x wierzchołka: p = -b/(2a) = -6/(2 · (-1)) = -6/-2 = 3
Współrzędna y wierzchołka: q = f(3) = -(3)² + 6 · 3 + 5 = -9 + 18 + 5 = 14
Wierzchołek: W = (3, 14)
Krok 3: Sprawdzenie, czy wierzchołek należy do dziedziny
Ponieważ 3 ∈ ⟨-1, 5⟩, wierzchołek leży w dziedzinie.
Krok 4: Wartości na końcach dziedziny
Dla x = -1: f(-1) = -(-1)² + 6 · (-1) + 5 = -1 - 6 + 5 = -2
Dla x = 5: f(5) = -(5)² + 6 · 5 + 5 = -25 + 30 + 5 = 10
Krok 5: Określenie zbioru wartości
Ponieważ parabola ma ramiona w dół i wierzchołek (maksimum) w dziedzinie: - Maksymalna wartość: f(3) = 14 - Minimalna wartość: f(-1) = -2 (bo -2 < 10)
Funkcja przyjmuje wszystkie wartości od minimum do maksimum.
Odpowiedź: Zbiór wartości funkcji f to ⟨-2, 14⟩
Funkcje: Dziedzina i zbiór wartości, odczytywanie własności z wykresu, miejsca zerowe, monotoniczność i przesunięcia wykresu.