Przejdź do treści
Funkcje

Czy punkt należy do wykresu funkcji - wartość funkcji dla argumentu i parametr z punktu (zadania maturalne)

Punkt należy do wykresu funkcji, gdy po podstawieniu jego pierwszej współrzędnej do wzoru wychodzi druga. Ta sama równość f(x0) = y0 daje wartość funkcji, argument dla danej wartości i parametr z punktu. Siedem zadań z arkuszy krok po kroku i pułapki z minusem, dziedziną i zamienionymi współrzędnymi.

·8 min czytania

Punkt P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) należy do wykresu funkcji ff wtedy i tylko wtedy, gdy x0x_0 należy do dziedziny funkcji i f(x0)=y0f(x_0) = y_0. Żeby to sprawdzić, podstawiasz pierwszą współrzędną punktu za xx do wzoru funkcji i porównujesz wynik z drugą współrzędną: równe, to punkt leży na wykresie, różne, to nie leży. Ta sama równość f(x0)=y0f(x_0) = y_0 działa w drugą stronę: gdy we wzorze jest niewiadomy współczynnik albo parametr, a punkt na pewno leży na wykresie, podstawienie daje równanie, z którego ten współczynnik wyliczasz.

To jedna z najczęstszych czynności w zadaniach z funkcji na maturze podstawowej. Czasem jest całym zadaniem zamkniętym za 1 punkt (jak w maju 2020, zadanie 16), a czasem pierwszym krokiem zadania otwartego, w którym z punktu wyznaczasz współczynnik, a dopiero potem liczysz wartość najmniejszą albo miejsca zerowe. W arkuszu z maja 2026 (zadanie 14) wykres funkcji liniowej przechodził przez dwa podane punkty i trzeba było ocenić zdania o jej wzorze. Poniżej masz regułę, trzy pokrewne czynności (wartość funkcji dla argumentu, argument dla danej wartości, parametr z punktu), siedem rozwiązanych przykładów z arkuszy i pułapki, na których najczęściej traci się punkt.

Co znaczy, że punkt należy do wykresu funkcji

Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów (x,f(x))(x, f(x)), gdzie xx przebiega dziedzinę. Pierwsza współrzędna punktu to argument, druga to wartość funkcji dla tego argumentu. Punkt (3,7)(3, 7) leży na wykresie dokładnie wtedy, gdy funkcja dla argumentu 33 przyjmuje wartość 77.

Z tej definicji biorą się cztery typy poleceń, które na maturze wyglądają różnie, a rozwiązuje się je tym samym podstawieniem:

  • •Oblicz wartość funkcji dla argumentu. Masz wzór i x0x_0, liczysz f(x0)f(x_0).
  • •Sprawdź, czy punkt należy do wykresu. Masz wzór i cały punkt, liczysz f(x0)f(x_0) i porównujesz z y0y_0.
  • •Wyznacz argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość. Masz wzór i y0y_0, rozwiązujesz równanie f(x)=y0f(x) = y_0.
  • •Wyznacz współczynnik albo parametr. Masz wzór z niewiadomą i punkt, który na pewno leży na wykresie, rozwiązujesz równanie f(x0)=y0f(x_0) = y_0 względem tej niewiadomej.

W każdym z tych typów błąd rzadko bierze się z teorii. Punkty giną na rachunku: na potędze liczby ujemnej, na zamienionych współrzędnych i na zapomnianej dziedzinie.

Jak sprawdzić, czy punkt leży na wykresie: trzy kroki

Sprawdzenie zawsze idzie tak samo: bierzesz współrzędną xx punktu, wstawiasz ją do wzoru w nawiasie, liczysz wynik i porównujesz z współrzędną yy. Zgodność oznacza, że punkt należy do wykresu, a różnica, że nie należy. Przed podstawieniem sprawdź jeszcze, czy xx w ogóle należy do dziedziny funkcji.

Rozpisane na kroki:

  1. 1.Sprawdź, czy x0x_0 należy do dziedziny. Dla f(x)=2x−4f(x) = \frac{2}{x - 4} punkt o pierwszej współrzędnej 44 odpada od razu, bez liczenia.
  2. 2.Podstaw x0x_0 do wzoru, zawsze w nawiasie: f(−3)=(−3)2−2⋅(−3)f(-3) = (-3)^2 - 2 \cdot (-3), a nie −32−2⋅−3-3^2 - 2 \cdot -3.
  3. 3.Porównaj wynik z y0y_0. Równość to odpowiedź „tak", każda inna liczba to odpowiedź „nie".

Wartość funkcji dla argumentu to ten sam rachunek bez kroku trzeciego. Jeśli wykres jest narysowany, a wzoru nie ma, odczytujesz wartość z rysunku, o czym piszę osobno we wpisie o odczytywaniu własności funkcji z wykresu.

Wzory

Punkt należy do wykresu funkcji:

P=(x0,y0)∈wykres f  ⟺  x0∈Df i f(x0)=y0P = (x_0, y_0) \in \text{wykres } f \iff x_0 \in D_f \ \text{i}\ f(x_0) = y_0

Wartość funkcji dla argumentu:

y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

Punkt przecięcia z osią OY:

(0, f(0))(0,\ f(0))

Miejsce zerowe jako punkt wykresu:

f(x0)=0  ⟺  (x0, 0)∈wykres ff(x_0) = 0 \iff (x_0,\ 0) \in \text{wykres } f

Ostatnie dwa wzory to szczególne przypadki pierwszego. Punkt na osi OYOY ma pierwszą współrzędną 00, więc jego druga współrzędna to f(0)f(0). Punkt na osi OXOX ma drugą współrzędną 00, więc jego pierwsza współrzędna jest miejscem zerowym funkcji. Dla funkcji liniowej f(x)=ax+bf(x) = ax + b z tego pierwszego wynika od razu f(0)=bf(0) = b: wyraz wolny to rzędna punktu przecięcia wykresu z osią OYOY.

Przykład 1: Wartość funkcji dla argumentu

0/7
Matura sierpień 2013Zadanie 5Funkcje

Treść: Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=2xx−1f(x) = \frac{2x}{x - 1} dla x≠1x \neq 1. Wartość funkcji ff dla argumentu x=2x = 2 jest równa:

  • A22
  • B−4-4
  • C44
  • D−2-2

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Sprawdź dziedzinę

    Wzór wyklucza tylko x=1x = 1, więc argument 22 jest dozwolony.

  2. Krok 2

    Podstaw argument do wzoru

    f(2)=2⋅22−1=41=4f(2) = \frac{2 \cdot 2}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4
Odpowiedź: C

Wartość funkcji dla argumentu 22 wynosi 44.

Przykład 2: Które punkty należą do wykresu funkcji kwadratowej

0/7
Funkcje

Treść: Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=x2−3x+1f(x) = x^2 - 3x + 1. Sprawdź, które z punktów A=(2,−1)A = (2, -1), B=(−1,3)B = (-1, 3), C=(0,1)C = (0, 1) należą do wykresu tej funkcji.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Punkt A

    Podstawiasz x=2x = 2:

    f(2)=22−3⋅2+1=4−6+1=−1f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = -1

    Wynik jest równy drugiej współrzędnej punktu AA, więc AA leży na wykresie.

  2. Krok 2

    Punkt B

    Podstawiasz x=−1x = -1, w nawiasie:

    f(−1)=(−1)2−3⋅(−1)+1=1+3+1=5f(-1) = (-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5

    Wynik 55 jest różny od 33, więc BB nie leży na wykresie.

  3. Krok 3

    Punkt C

    Dla x=0x = 0 zostaje sam wyraz wolny: f(0)=1f(0) = 1. To druga współrzędna punktu CC, więc CC leży na wykresie, i to na osi OYOY.

Odpowiedź:

do wykresu należą punkty AA i CC, punkt BB nie należy.

Przykład 3: Wyraz wolny funkcji liniowej z punktu

0/7
Matura maj 2020Zadanie 16Funkcje

Treść: Punkt A=(13,−1)A = \left(\frac{1}{3}, -1\right) należy do wykresu funkcji liniowej ff określonej wzorem f(x)=3x+bf(x) = 3x + b. Wynika stąd, że:

  • Ab=2b = 2
  • Bb=1b = 1
  • Cb=−1b = -1
  • Db=−2b = -2

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Zapisz warunek przynależności

    Skoro punkt leży na wykresie, to f(13)=−1f\left(\frac{1}{3}\right) = -1.

  2. Krok 2

    Podstaw i rozwiąż równanie z niewiadomą b

    3⋅13+b=−1⇒1+b=−1⇒b=−23 \cdot \frac{1}{3} + b = -1 \quad\Rightarrow\quad 1 + b = -1 \quad\Rightarrow\quad b = -2
Odpowiedź: D

Wzór funkcji to f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2.

Przykład 4: Parametr, który może mieć dwie wartości

0/7
Matura próbna kwiecień 2015Zadanie 4Funkcje

Treść: Do wykresu funkcji f(x)=(m−1)x+m2+1f(x) = (m - 1)x + m^2 + 1 należy punkt P=(0,5)P = (0, 5). Parametr mm może być równy:

  • A00
  • B11
  • C22
  • D6\sqrt6

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Podstaw punkt

    Dla x=0x = 0 składnik z xx znika:

    f(0)=(m−1)⋅0+m2+1=m2+1f(0) = (m - 1) \cdot 0 + m^2 + 1 = m^2 + 1
  2. Krok 2

    Przyrównaj do drugiej współrzędnej

    m2+1=5⇒m2=4⇒m=2 lub m=−2m^2 + 1 = 5 \quad\Rightarrow\quad m^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad m = 2 \ \text{lub}\ m = -2
  3. Krok 3

    Porównaj z odpowiedziami

    Wśród podanych liczb jest tylko 22. Słowo „może" w poleceniu sygnalizuje właśnie to: warunek spełniają dwie wartości, a w odpowiedziach stoi jedna z nich.

Odpowiedź: C

Parametr może być równy 22 (albo −2-2, której nie ma wśród odpowiedzi).

Przykład 5: Niewiadoma w pierwszej współrzędnej punktu

0/7
Matura próbna Operon listopad 2011Zadanie 11Funkcje

Treść: Punkt P=(a+1,2)P = (a + 1, 2) należy do wykresu funkcji f(x)=4xf(x) = \frac{4}{x}. Liczba aa jest równa:

  • A00
  • B−1-1
  • C22
  • D11

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Zapisz warunek

    Pierwsza współrzędna to a+1a + 1, druga to 22, więc f(a+1)=2f(a + 1) = 2.

  2. Krok 2

    Rozwiąż równanie

    4a+1=2⇒a+1=2⇒a=1\frac{4}{a + 1} = 2 \quad\Rightarrow\quad a + 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad a = 1
  3. Krok 3

    Sprawdź dziedzinę

    Argument a+1=2a + 1 = 2 jest różny od zera, więc punkt (2,2)(2, 2) rzeczywiście leży na wykresie. To funkcja proporcjonalności odwrotnej, którą szerzej omawiam we wpisie o proporcjonalności odwrotnej.

Odpowiedź: D

Liczba aa jest równa 11.

Przykład 6: Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje daną wartość

0/7
Funkcje

Treść: Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x. Wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość 55.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Zapisz równanie

    Szukasz takich xx, że f(x)=5f(x) = 5:

    x2−4x=5⇒x2−4x−5=0x^2 - 4x = 5 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 4x - 5 = 0
  2. Krok 2

    Rozwiąż równanie kwadratowe

    Wyróżnik Δ=16+20=36\Delta = 16 + 20 = 36, więc Δ=6\sqrt{\Delta} = 6 i

    x1=4−62=−1,x2=4+62=5x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1, \qquad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5
  3. Krok 3

    Sprawdź jeden z wyników

    f(5)=25−20=5f(5) = 25 - 20 = 5, zgadza się.

Odpowiedź:

funkcja przyjmuje wartość 55 dla argumentów −1-1 i 55, czyli do wykresu należą punkty (−1,5)(-1, 5) i (5,5)(5, 5).

Przykład 7: Punkt wyznacza współczynnik paraboli

0/7
Matura sierpień 2017Zadanie 32Funkcje

Treść: Funkcja kwadratowa f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe x1=−2x_1 = -2 i x2=6x_2 = 6. Wykres funkcji ff przechodzi przez punkt A=(1,−5)A = (1, -5). Oblicz najmniejszą wartość funkcji ff.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Zapisz postać iloczynową

    Znane miejsca zerowe dają wzór z jedną niewiadomą:

    f(x)=a(x+2)(x−6)f(x) = a(x + 2)(x - 6)
  2. Krok 2

    Wyznacz a z punktu A

    Podstawiasz x=1x = 1 i przyrównujesz do −5-5:

    a(1+2)(1−6)=−5⇒−15a=−5⇒a=13a(1 + 2)(1 - 6) = -5 \quad\Rightarrow\quad -15a = -5 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{1}{3}
  3. Krok 3

    Znajdź wierzchołek

    Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi: p=−2+62=2p = \frac{-2 + 6}{2} = 2.

  4. Krok 4

    Policz wartość w wierzchołku

    f(2)=13⋅(2+2)(2−6)=13⋅4⋅(−4)=−163f(2) = \frac{1}{3} \cdot (2 + 2)(2 - 6) = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot (-4) = -\frac{16}{3}

    Współczynnik a=13a = \frac{1}{3} jest dodatni, więc ramiona paraboli idą w górę i wartość w wierzchołku jest najmniejsza.

Odpowiedź:

najmniejsza wartość funkcji ff to −163-\frac{16}{3}. Pozostałe zadania z tego arkusza znajdziesz na stronie matury z sierpnia 2017.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

  • Obliczyć wartość funkcji dla podanego argumentu, podstawiając liczbę ujemną i ułamek w nawiasie.
  • Sprawdzić, czy punkt należy do wykresu, porównując wartość funkcji z drugą współrzędną punktu.
  • Wyznaczyć współczynnik lub parametr we wzorze funkcji z warunku, że wykres przechodzi przez dany punkt.
  • Rozwiązać równanie f(x)=y0f(x) = y_0, żeby znaleźć wszystkie argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość.
  • Odczytać, że punkt na osi OY ma postać (0,f(0))(0, f(0)), a punkt na osi OX odpowiada miejscu zerowemu.
  • Pamiętać o dziedzinie funkcji, zanim uznasz, że punkt leży na wykresie.

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z arkuszy, w których podstawiasz punkt do wzoru: wyznaczasz parametr, wyraz wolny albo cały wzór funkcji liniowej. Kiedy te pójdą gładko, przejdź do wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej z wykresu, gdzie ta sama reguła pracuje na parabolach. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie Funkcje.

Więcej zadań z działu Funkcje
Następny krok Losuj kolejne zadanie z funkcji

Najczęstsze pytania

Jak sprawdzić, czy punkt należy do wykresu funkcji?

Podstaw pierwszą współrzędną punktu do wzoru funkcji i porównaj wynik z drugą współrzędną. Jeśli są równe, a pierwsza współrzędna należy do dziedziny, punkt leży na wykresie. Jeśli wynik jest inny, punkt do wykresu nie należy.

Czym różni się wartość funkcji od argumentu?

Argument to liczba, którą wstawiasz za xx, czyli pierwsza współrzędna punktu. Wartość funkcji to wynik f(x)f(x), czyli druga współrzędna. W zapisie f(3)=7f(3) = 7 argumentem jest 33, a wartością 77.

Jak wyznaczyć parametr, gdy wykres przechodzi przez punkt?

Zapisz równość f(x0)=y0f(x_0) = y_0, wstaw współrzędne punktu i rozwiąż otrzymane równanie względem parametru. Jeśli parametr występuje w kwadracie, równanie może mieć dwa rozwiązania i trzeba sprawdzić, czy oba spełniają pozostałe warunki zadania.

Ile punktów wykresu wystarczy, żeby wyznaczyć wzór funkcji liniowej?

Dwa różne punkty. Każdy daje jedno równanie z niewiadomymi aa i bb, a układ dwóch takich równań wyznacza oba współczynniki. Jeśli jednym z punktów jest punkt na osi OYOY, od razu masz bb i zostaje jedno równanie.

Jak znaleźć punkt przecięcia wykresu z osią OY?

Policz f(0)f(0). Punkt przecięcia ma współrzędne (0,f(0))(0, f(0)), o ile 00 należy do dziedziny. Dla funkcji f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} zera w dziedzinie nie ma, więc wykres osi OYOY nie przecina wcale.

Co zrobić, gdy funkcja przyjmuje daną wartość dla kilku argumentów?

Rozwiąż równanie f(x)=y0f(x) = y_0 do końca i podaj wszystkie rozwiązania należące do dziedziny. Dla funkcji kwadratowej to zwykle dwa argumenty symetryczne względem osi paraboli, jak −1-1 i 55 w przykładzie 6, gdzie osią jest prosta x=2x = 2.

Kategoria: Funkcje

Zobacz wszystkie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2376

zadań CKE

2000+

rozwiązań

1537

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Powiązane artykuły

Rozwiązanie zadania

Zbiór wartości funkcji - jak wyznaczyć krok po kroku

Zbiór wartości funkcji liniowej, kwadratowej, wykładniczej, wymiernej i odczytywany z wykresu. Schemat w 4 krokach, przykłady maturalne CKE i pułapki z nawiasami.

Rozwiązanie zadania

Proporcjonalność odwrotna - wzór, wykres hiperboli i zadania maturalne

Proporcjonalność odwrotna na maturze: stały iloczyn, wzór y = a/x, wykres hiperboli i autentyczne zadania CKE z tabelkami rozwiązane krok po kroku.

Przewodnik tematyczny

Własności funkcji na maturze - parzystość, różnowartościowość, funkcja odwrotna i złożenie

Parzystość, różnowartościowość, funkcja odwrotna i złożenie funkcji to cztery pojęcia, które mylą się najczęściej. Rozkładam każde na czynniki pierwsze, z przykładami krok po kroku.