Funkcja f jest określona następująco: f(x)= -x-2 dla x ∈ (-5,-2], 0 dla x ∈ (-2,1], x dla x ∈ (1,3]. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. Dziedziną funkcji f jest przedział ……………… . Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ……………… . Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji f jest przedział ……………… . Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) < f(-3) jest przedział ……………… .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: (-5,3] [0,3] [-2,1] (-3,1]
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi Ox. Widzimy, że funkcja przyjmuje swoje wartości od argumentu x=-5 (kropka niezamalowana), aż do argumentu x=3 (kropka zamalowana). Stąd też dziedziną funkcji będzie przedział (-5,3].
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Zbiór wartości odczytujemy z osi Oy. Dla x ∈ (-5,-2] mamy f(x)=-x-2, co daje wartości od f(-5)=3 (nie włączając, bo -5 nie należy do dziedziny) do f(-2)=0. Dla x ∈ (-2,1] mamy f(x)=0. Dla x ∈ (1,3] mamy f(x)=x, co daje wartości od nieco powyżej 1 do 3. Zbierając wszystko razem, zbiorem wartości jest przedział [0,3].
Krok 3. Rozwiązanie trzeciej części zadania.
Miejsca zerowe to takie argumenty x, dla których funkcja przyjmuje wartość równą 0. Na pierwszym odcinku f(x)=-x-2=0 daje x=-2, a -2 ∈ (-5,-2], więc -2 jest miejscem zerowym. Na drugim odcinku f(x)=0 dla wszystkich x ∈ (-2,1], więc wszystkie te argumenty są miejscami zerowymi. Zbiorem wszystkich miejsc zerowych jest przedział [-2,1].
Krok 4. Rozwiązanie czwartej części zadania.
Najpierw obliczamy f(-3)=-(-3)-2=3-2=1. Szukamy więc argumentów x, dla których f(x)<1.
Dla x ∈ (-5,-2]: -x-2<1, czyli -x<3, czyli x>-3. Razem z warunkiem na przedział daje to x ∈ (-3,-2].
Dla x ∈ (-2,1]: f(x)=0<1, więc cały ten przedział spełnia nierówność.
Dla x ∈ (1,3]: f(x)=x<1, ale x>1 na tym przedziale, więc brak rozwiązań.
Łącząc wyniki: (-3,-2] ∪ (-2,1]=(-3,1].
Funkcje: Dziedzina i zbiór wartości, odczytywanie własności z wykresu, miejsca zerowe, monotoniczność i przesunięcia wykresu.