Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α oraz β (zobacz rysunek). Sinus kąta α jest równy 4/7. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Cosinus kąta α jest równy 3/7. P F Cosinus kąta β jest równy 4/7. P F
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: FP
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Moglibyśmy podejść do tego zadania na różne sposoby, ale chyba takim najciekawszym byłoby wykorzystanie tutaj jedynki trygonometrycznej - zdanie będzie prawdą tylko wtedy, gdy sin²α+cos²α=1. Sprawdźmy zatem ile będzie równy sin²α+cos²α w przypadku gdy sinα=4/7 i gdy cosα=3/7:
(4/7)²+(3/7)²=16/49+9/49=25/49
Otrzymana wartość nie jest równa 1, a to oznacza, że wartość cosinusa nie jest podana prawidłowo, więc zdanie jest fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
My już z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym powinniśmy kojarzyć, że to zdanie jest prawdą. Bardzo dobrze widać to, gdy oznaczylibyśmy sobie długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α jako 4x i przeciwprostokątną jako 7x, co dałoby nam właśnie sinα=4/7.
W takim układzie cosinus kąta β będzie równy właśnie 4x/(7x)=4/7, zatem zdanie jest prawdą.
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.