W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji kwadratowej f przechodzi przez punkt (2,15). Osią symetrii tego wykresu jest prosta x=-1. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 1. Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: f(x)=3(x+1)²-12
Krok 1. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.
Jedną z własności parabol jest fakt, iż miejsca zerowe są oddalone o jednakową odległość od osi symetrii. Wiemy, że osią symetrii jest prosta o równaniu x=-1, a więc pierwsze miejsce zerowe x=1 jest oddalone o 2 jednostki w prawo. W takim razie drugie miejsce zerowe będzie oddalone o dwie jednostki w lewo, czyli tym samym będzie to x=-3.
Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej.
Znając miejsca zerowe, możemy przystąpić do zapisania wzoru funkcji w postaci iloczynowej:
f(x)=a(x-x₁)(x-x₂) f(x)=a(x-1)(x-(-3)) f(x)=a(x-1)(x+3)
Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika kierunkowego a. Poznamy go podstawiając współrzędne punktu, przez który przechodzi wykres tej funkcji, czyli (2,15). W takim razie:
15=a · (2-1) · (2+3) 15=a · 1 · 5 15=5a a=3
Tym samym nasza funkcja będzie się wyrażać wzorem:
f(x)=3(x-1)(x+3)
Krok 3. Wyznaczenie wierzchołka paraboli.
Do zapisania postaci kanonicznej będziemy potrzebować współrzędnych wierzchołka paraboli W=(p,q). Tutaj od razu możemy stwierdzić, że pierwsza współrzędna musi pokrywać się z osią symetrii, ponieważ ta oś zawsze przechodzi przez wierzchołek, a więc od razu możemy zapisać, że p=-1. Chcąc poznać współrzędną q, wystarczy podstawić teraz x=-1 do wzoru naszej funkcji, zatem:
f(-1)=3 · (-1-1) · (-1+3) f(-1)=3 · (-2) · 2 f(-1)=-12
Tym samym możemy stwierdzić, że W=(-1,-12).
Krok 4. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Postać kanoniczną zapisujemy jako:
f(x)=a(x-p)²+q
Znając współrzędne wierzchołka paraboli i wiedząc, że a=3, możemy przystąpić do zapisania wzoru w postaci kanonicznej:
f(x)=3(x-(-1))²+(-12) f(x)=3(x+1)²-12
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.