Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=3n²-3n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma S₃ trzech początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 b) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Ciąg (a_n) jest arytmetyczny. P F Wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są liczbami parzystymi. P F
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) B b) FP
a) Obliczamy trzy pierwsze wyrazy ciągu:
a₁=3 · 1²-3 · 1=3-3=0
a₂=3 · 2²-3 · 2=12-6=6
a₃=3 · 3²-3 · 3=27-9=18
Suma trzech początkowych wyrazów:
S₃=a₁+a₂+a₃=0+6+18=24
Odpowiedź: B.
b) Zdanie 1: Ciąg (a_n) jest arytmetyczny.
Sprawdzamy różnice kolejnych wyrazów: a₂-a₁=6-0=6 oraz a₃-a₂=18-6=12. Różnice nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny. Zdanie jest fałszem.
Zdanie 2: Wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są liczbami parzystymi.
Zapisujemy wzór w postaci:
a_n=3n²-3n=3n(n-1)
Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych n(n-1) jest zawsze parzysty (bo jedna z tych liczb musi być parzysta). Mnożąc liczbę parzystą przez 3, wciąż otrzymamy liczbę parzystą. Zdanie jest prawdą.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.