Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4. Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=27
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Skoro długości krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q=4, to moglibyśmy zapisać, że długości krawędzi wyglądają następująco:
Pierwsza krawedź: x
Druga krawedź: 4x
Trzecia krawedź: 16x
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Pole powierzchni całkowitej obliczamy ze wzoru:
P_c=2ab+2ac+2bc
Wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest równe 94,5, zatem podstawiając znane nam dane, otrzymamy:
2 · x · 4x+2 · x · 16x+2 · 4x · 16x=94,5 8x²+32x²+128x²=94,5 168x²=94,5 x²=0,5625 x=0,75 x=-0,75
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ długość krawędzi musi być dodatnia, zatem zostaje nam x=0,75.
Tym samym możemy stwierdzić, że pierwsza krawędź prostopadłościanu ma długość 0,75, druga ma 4 · 0,75=3, a trzecia ma 16 · 0,75=12.
Krok 3. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Znając długości wszystkich trzech krawędzi prostopadłościanu, możemy już bez problemu obliczyć objętość tej bryły:
V=abc V=0,75 · 3 · 12 V=27
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.