Dane są dwa zbiory: X={-3,-2,-1,0,1,2} oraz Y={-2,-1,0,1}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru Y i tworzymy uporządkowaną parę liczb (x, y), gdzie x jest liczbą wylosowaną ze zbioru X oraz y jest liczbą wylosowaną ze zbioru Y. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb (x, y), która będzie spełniać warunek x · y ≥ 0. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 17/24
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym zbiorze mamy 6 liczb, natomiast w drugim 4. Losujemy jedną liczbę z pierwszego zbioru i jedną z drugiego, a to oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć |Ω|=6 · 4=24.
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wybór takiej pary liczb, której iloczyn da liczbę dodatnią lub równą 0. Moglibyśmy oczywiście zacząć wypisywać takie pary, ale wystarczy zauważyć, że taki iloczyn powstanie wtedy, gdy pomnożymy przez siebie dwie liczby ujemne, dwie liczby dodatnie, albo dowolną liczbę przez 0. Rozpiszmy więc ile jest takich poszczególnych możliwości.
Obydwie liczby ujemne:
W pierwszym zbiorze mamy 3 liczby ujemne, a w drugim mamy 2 takie liczby, zatem zgodnie z regułą mnożenia interesujących nas par będziemy mieć:
3 · 2=6
Obydwie liczby dodatnie:
W pierwszym zbiorze mamy 2 liczby dodatnie, a w drugim mamy 1 taką liczbę, zatem zgodnie z regułą mnożenia interesujących nas par będziemy mieć:
2 · 1=2
Liczba 0 z pierwszego zbioru i dowolna ze zbioru drugiego:
Pasującą parą będzie także sytuacja, gdy z pierwszego zbioru losujemy 0, a z drugiego mamy dowolną liczbę, zatem:
1 · 4=4
Dowolna liczba z pierwszego zbioru (różna od zera) i 0 z drugiego zbioru:
I analogicznie, możemy mieć dowolną liczbę z pierwszego (oprócz zera, bo już wcześniej rozpisywaliśmy warianty z zerem) i 0 z drugiego zbioru, zatem:
5 · 1=5
Teraz zgodnie z regułą dodawania możemy stwierdzić, że interesujących nas par mamy |A|=6+2+4+5=17.
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
P(A)=|A|/|Ω|=17/24
Prawdopodobieństwo: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, drzewa stochastyczne, zdarzenia przeciwne i doświadczenia losowe z arkuszy maturalnych.