Matura czerwiec 2025 matematyka - rozwiązania całego arkusza krok po kroku

O arkuszu - Matura czerwiec 2025

Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym z sesji czerwcowej 2025 zawierał 35 zadań: 28 zamkniętych (po 1 punkcie) i 7 otwartych (za 2-5 punktów). Łącznie do zdobycia było 50 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów.

Rozkład kategorii w tym arkuszu:

Poziom trudności oceniamy jako średni - najtrudniejsze okazały się zadania 33 (stereometria, 5 pkt) i 34 (optymalizacja, 4 pkt).

---

Zadania zamknięte (1-28)

Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki ↗

Treść: Wartość wyrażenia $\frac{2^3 \cdot 4^2}{8^2}$ jest równa

A. $\frac{1}{2}$    B. $2$    C. $4$    D. $8$

Rozwiązanie:

Sprowadzamy wszystko do podstawy 2:

$\frac{2^3 \cdot (2^2)^2}{(2^3)^2} = \frac{2^3 \cdot 2^4}{2^6} = \frac{2^7}{2^6} = 2^1 = 2$

Odpowiedź: B

---

Zadanie 2 - Procenty ↗

Treść: Cena produktu wynosząca 250 zł wzrosła o 20%, a następnie została obniżona o 10%. Cena po obu zmianach wynosi

A. 250 zł    B. 260 zł    C. 270 zł    D. 275 zł

Rozwiązanie:

$250 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}9 = 250 \cdot 1{,}08 = 270 \text{ zł}$

Uwaga: podwyżka o 20% i obniżka o 10% to nie to samo co wzrost o 10%! Kolejność i baza procentowania mają znaczenie.

Odpowiedź: C

---

Zadanie 3 - Funkcja liniowa ↗

Treść: Miejsce zerowe funkcji $f(x) = -2x + 6$ jest równe

A. $-3$    B. $-2$    C. $3$    D. $6$

Rozwiązanie:

$-2x + 6 = 0$
$-2x = -6$
$x = 3$

Odpowiedź: C

---

Zadanie 4 - Geometria analityczna (współczynnik kierunkowy) ↗

Treść: Prosta przechodzi przez punkty $A(1, 3)$ i $B(4, 9)$. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy

A. $1$    B. $2$    C. $3$    D. $6$

Rozwiązanie:

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Odpowiedź: B

---

Zadanie 5 - Geometria analityczna (środek odcinka) ↗

Treść: Środek odcinka $AB$, gdzie $A(-2, 4)$ i $B(6, -2)$, ma współrzędne

A. $(2, 1)$    B. $(4, 2)$    C. $(2, 3)$    D. $(4, 1)$

Rozwiązanie:

$S = \left(\frac{-2 + 6}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2},\ \frac{2}{2}\right) = (2,\ 1)$

Odpowiedź: A

---

Zadanie 6 - Geometria analityczna (odległość punktu od prostej) ↗

Treść: Odległość punktu $P(3, -1)$ od prostej $4x - 3y + 2 = 0$ jest równa

A. $1$    B. $\frac{13}{5}$    C. $\frac{17}{5}$    D. $3$

Rozwiązanie:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-1) + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|12 + 3 + 2|}{\sqrt{25}} = \frac{17}{5}$

Odpowiedź: C

---

Zadanie 7 - Geometria analityczna (okrąg) ↗

Treść: Okrąg o równaniu $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ ma środek $S$ i promień $r$ równe

A. $S(2, -3),\ r = 5$    B. $S(-2, 3),\ r = 5$    C. $S(2, -3),\ r = 25$    D. $S(-2, 3),\ r = 25$

Rozwiązanie:

Równanie kanoniczne okręgu: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Porównując: $a = 2$, $b = -3$ (bo $y + 3 = y - (-3)$), $r^2 = 25$, więc $r = 5$.

Typowa pułapka: pomylenie znaków. Jeśli w równaniu jest $(y + 3)$, to środek ma $b = -3$, nie $3$.

Odpowiedź: A

---

Zadanie 8 - Geometria analityczna (prosta prostopadła) ↗

Treść: Dana jest prosta $l: y = 3x - 1$. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do $l$ jest równy

A. $3$    B. $-3$    C. $\frac{1}{3}$    D. $-\frac{1}{3}$

Rozwiązanie:

Proste prostopadłe spełniają warunek $a_1 \cdot a_2 = -1$.

$3 \cdot a_2 = -1 \implies a_2 = -\frac{1}{3}$

Odpowiedź: D

---

Zadanie 9 - Ciąg arytmetyczny ↗

Treść: W ciągu arytmetycznym $a_1 = 5$ i $r = -3$. Wartość $a_8$ jest równa

A. $-16$    B. $-19$    C. $26$    D. $29$

Rozwiązanie:

$a_8 = a_1 + 7r = 5 + 7 \cdot (-3) = 5 - 21 = -16$

Uwaga na indeksowanie: dla $a_8$ mnożysz $r$ przez $7$ (nie przez $8$).

Odpowiedź: A

---

Zadanie 10 - Ciąg arytmetyczny (suma) ↗

Treść: Suma 10 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym $a_1 = 2$ i $a_{10} = 20$, jest równa

A. $100$    B. $110$    C. $200$    D. $220$

Rozwiązanie:

$S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2} = \frac{(2 + 20) \cdot 10}{2} = \frac{220}{2} = 110$

Odpowiedź: B

---

Zadanie 11 - Ciąg geometryczny ↗

Treść: W ciągu geometrycznym $a_1 = 3$ i $q = 2$. Wartość $a_6$ jest równa

A. $48$    B. $64$    C. $96$    D. $192$

Rozwiązanie:

$a_6 = a_1 \cdot q^5 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96$

Odpowiedź: C

---

Zadanie 12 - Funkcja kwadratowa (wyróżnik) ↗

Treść: Równanie $x^2 - 6x + 9 = 0$ ma

A. dwa różne pierwiastki rzeczywiste    B. jeden podwójny pierwiastek    C. brak pierwiastków rzeczywistych    D. nieskończenie wiele rozwiązań

Rozwiązanie:

$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

Wyróżnik równy zero oznacza jeden podwójny pierwiastek: $x = \frac{6}{2} = 3$.

Można też zauważyć, że $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

Odpowiedź: B

---

Zadanie 13 - Funkcja kwadratowa (wierzchołek) ↗

Treść: Wierzchołek paraboli $y = 2(x - 3)^2 + 1$ ma współrzędne

A. $(3, 1)$    B. $(-3, 1)$    C. $(3, -1)$    D. $(-3, -1)$

Rozwiązanie:

Postać kanoniczna: $y = a(x - p)^2 + q$, więc wierzchołek $W = (p, q) = (3, 1)$.

Odpowiedź: A

---

Zadanie 14 - Funkcja kwadratowa (nierówność) ↗

Treść: Funkcja $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ przyjmuje wartości nieujemne dla

A. $x \in [1, 3]$    B. $x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$    C. $x \in [0, 4]$    D. $x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$

Rozwiązanie:

Szukamy $f(x) \geq 0$:
$-x^2 + 4x - 3 \geq 0$
$x^2 - 4x + 3 \leq 0$
$(x - 1)(x - 3) \leq 0$

Miejsca zerowe: $x = 1$ i $x = 3$. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni (po zamianie znaków), więc parabola jest skierowana w górę i nierówność zachodzi dla $x \in [1, 3]$.

Odpowiedź: A

---

Zadanie 15 - Równanie z wartością bezwzględną ↗

Treść: Rozwiązaniami równania $|2x - 5| = 3$ są liczby

A. $x = 1$ lub $x = 4$    B. $x = 1$ lub $x = -4$    C. $x = -1$ lub $x = 4$    D. $x = 4$

Rozwiązanie:

Przypadek 1: $2x - 5 = 3 \implies 2x = 8 \implies x = 4$

Przypadek 2: $2x - 5 = -3 \implies 2x = 2 \implies x = 1$

Odpowiedź: A

---

Zadanie 16 - Nierówność liniowa ↗

Treść: Zbiorem rozwiązań nierówności $3x - 7 > 2x + 1$ jest

A. $(-\infty, 8)$    B. $(8, +\infty)$    C. $(-\infty, -8)$    D. $(-8, +\infty)$

Rozwiązanie:

$3x - 7 > 2x + 1$
$3x - 2x > 1 + 7$
$x > 8$

Odpowiedź: B

---

Zadanie 17 - Logarytmy ↗

Treść: Wartość wyrażenia $\log_2 32 - \log_2 4$ jest równa

A. $2$    B. $3$    C. $4$    D. $8$

Rozwiązanie:

$\log_2 32 - \log_2 4 = \log_2 \frac{32}{4} = \log_2 8 = 3$

Alternatywnie: $\log_2 32 = 5$, $\log_2 4 = 2$, różnica $5 - 2 = 3$.

Odpowiedź: B

---

Zadanie 18 - Planimetria (pole trójkąta) ↗

Treść: Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości 6 cm i 8 cm. Pole tego trójkąta jest równe

A. $14 \text{ cm}^2$    B. $24 \text{ cm}^2$    C. $28 \text{ cm}^2$    D. $48 \text{ cm}^2$

Rozwiązanie:

$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ cm}^2$

Pamiętaj: pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych. Nie mnożymy przez przeciwprostokątną!

Odpowiedź: B

---

Zadanie 19 - Planimetria (kwadrat i przekątna) ↗

Treść: Przekątna kwadratu wynosi $10\sqrt{2}$. Obwód tego kwadratu jest równy

A. $20$    B. $40$    C. $10\sqrt{2}$    D. $20\sqrt{2}$

Rozwiązanie:

Przekątna kwadratu o boku $a$ wynosi $d = a\sqrt{2}$.

$a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \implies a = 10$ $\text{Obwód} = 4a = 40$

Odpowiedź: B

---

Zadanie 20 - Trygonometria (sinus kąta tępego) ↗

Treść: Wartość $\sin 150°$ jest równa

A. $\frac{1}{2}$    B. $-\frac{1}{2}$    C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$    D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Rozwiązanie:

$\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}$

W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni.

Odpowiedź: A

---

Zadanie 21 - Trygonometria (tangens z jedynki) ↗

Treść: Jeśli $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ i $\alpha \in (0°, 90°)$, to $\tg\alpha$ jest równy

A. $\frac{3}{4}$    B. $\frac{4}{3}$    C. $\frac{4}{5}$    D. $\frac{5}{4}$

Rozwiązanie:

Z jedynki trygonometrycznej:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

Ponieważ $\alpha \in (0°, 90°)$, to $\sin\alpha = \frac{4}{5}$.

$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$

Odpowiedź: B

---

Zadanie 22 - Prawdopodobieństwo ↗

Treść: Z urny zawierającej 3 białe i 5 czarnych kul losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest równe

A. $\frac{3}{8}$    B. $\frac{5}{8}$    C. $\frac{3}{5}$    D. $\frac{1}{3}$

Rozwiązanie:

Wszystkich kul: $3 + 5 = 8$. Sprzyjających (białe): $3$.

$P = \frac{3}{8}$

Odpowiedź: A

---

Zadanie 23 - Statystyka (mediana) ↗

Treść: Mediana zbioru danych $\{2, 7, 3, 9, 5\}$ jest równa

A. $3$    B. $5$    C. $5{,}2$    D. $7$

Rozwiązanie:

Uporządkowany zbiór: $2, 3, 5, 7, 9$.

Mediana to środkowy element (5 liczb, więc trzeci): $5$.

Uwaga: mediana to nie średnia arytmetyczna. Trzeba najpierw uporządkować zbiór!

Odpowiedź: B

---

Zadanie 24 - Stereometria (walec) ↗

Treść: Pole powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy $3$ cm i wysokości $5$ cm jest równe

A. $15\pi$ cm$^2$    B. $30\pi$ cm$^2$    C. $45\pi$ cm$^2$    D. $9\pi$ cm$^2$

Rozwiązanie:

$P_b = 2\pi r h = 2\pi \cdot 3 \cdot 5 = 30\pi \text{ cm}^2$

Odpowiedź: B

---

Zadanie 25 - Nierówność z wartością bezwzględną ↗

Treść: Zbiorem rozwiązań nierówności $|x - 4| < 3$ jest przedział

A. $(1, 7)$    B. $[-7, -1]$    C. $(-7, 7)$    D. $(1, 4)$

Rozwiązanie:

$|x - 4| < 3$
$-3 < x - 4 < 3$
$1 < x < 7$

Odpowiedź: A

---

Zadanie 26 - Funkcja (dziedzina) ↗

Treść: Dziedzina funkcji $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ to zbiór

A. $\mathbb{R}$    B. $\mathbb{R} \setminus \{2\}$    C. $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$    D. $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$

Rozwiązanie:

Mianownik nie może być zerem: $x - 2 \neq 0$, więc $x \neq 2$.

Choć $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ i można skrócić do $x + 2$, to dziedzina oryginalnej funkcji nadal wyklucza $x = 2$ (bo mianownik byłby zerem).

Odpowiedź: B

---

Zadanie 27 - Potęgi ↗

Treść: Wyrażenie $(\sqrt{3})^4 \cdot 3^{-1}$ jest równe

A. $1$    B. $3$    C. $9$    D. $27$

Rozwiązanie:

$(\sqrt{3})^4 = (3^{\frac{1}{2}})^4 = 3^2 = 9$ $9 \cdot 3^{-1} = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$

Odpowiedź: B

---

Zadanie 28 - Wielomiany (tw. Bezouta) ↗

Treść: Suma wszystkich pierwiastków wielomianu $W(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ jest równa

A. $-6$    B. $-1$    C. $6$    D. $11$

Rozwiązanie:

Ze wzorów Viete'a: suma pierwiastków wielomianu $x^3 + bx^2 + cx + d$ wynosi $-b$.

Tutaj $b = -6$, więc suma pierwiastków $= -(-6) = 6$.

Można też sprawdzić: $W(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$, $W(2) = 8 - 24 + 22 - 6 = 0$, $W(3) = 27 - 54 + 33 - 6 = 0$.

Pierwiastki to $1, 2, 3$ i ich suma wynosi $6$. Zgadza się.

Odpowiedź: C

---

Zadania otwarte (29-35)

Zadanie 29 (2 pkt) - Równanie wymierne ↗

Treść: Rozwiąż równanie:

$\frac{x + 3}{x - 1} = 2 + \frac{4}{x^2 - 1}$

Rozwiązanie:

Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę. Mianowniki nie mogą być zerami:

Dziedzina: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$

Krok 2. Zauważamy, że $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Mnożymy obie strony przez $(x-1)(x+1)$:

$(x + 3)(x + 1) = 2(x - 1)(x + 1) + 4$ Krok 3. Rozwijamy:
$x^2 + 4x + 3 = 2(x^2 - 1) + 4$
$x^2 + 4x + 3 = 2x^2 - 2 + 4$
$x^2 + 4x + 3 = 2x^2 + 2$ Krok 4. Przenosimy na jedną stronę:
$0 = x^2 - 4x - 1$ Krok 5. Obliczamy wyróżnik:
$\Delta = 16 + 4 = 20$
$\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{5}$ $x = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

Krok 6. Sprawdzamy dziedzinę: $2 + \sqrt{5} \approx 4{,}24$ i $2 - \sqrt{5} \approx -0{,}24$. Obie wartości należą do dziedziny.

Odpowiedź: $x = 2 - \sqrt{5}$ lub $x = 2 + \sqrt{5}$

---

Zadanie 30 (2 pkt) - Ciągi ↗

Treść: Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego mają sumę 21 i iloczyn 315. Wyznacz te wyrazy.

Rozwiązanie:

Krok 1. Oznaczamy wyrazy jako $a - r$, $a$, $a + r$ (środkowy wyraz i różnica).

Krok 2. Z sumy:
$(a - r) + a + (a + r) = 21$
$3a = 21$
$a = 7$ Krok 3. Z iloczynu:
$(7 - r) \cdot 7 \cdot (7 + r) = 315$
$7(49 - r^2) = 315$
$49 - r^2 = 45$
$r^2 = 4$
$r = \pm 2$

Krok 4. Wyrazy ciągu:

Oba rozwiązania są poprawne (ten sam ciąg w odwrotnej kolejności).

Odpowiedź: Szukane wyrazy to $5,\ 7,\ 9$

---

Zadanie 31 (2 pkt) - Prawdopodobieństwo ↗

Treść: W pudełku jest 5 kul czerwonych i 3 kule niebieskie. Losujemy dwie kule (bez zwracania). Oblicz prawdopodobieństwo, że obie wylosowane kule są tego samego koloru.

Rozwiązanie:

Krok 1. Obliczamy liczbę wszystkich możliwych wyborów 2 kul z 8:
$\binom{8}{2} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$

Krok 2. Zdarzenia sprzyjające:

Łącznie: $10 + 3 = 13$

Krok 3. Prawdopodobieństwo:
$P = \frac{13}{28}$

Odpowiedź: $P = \frac{13}{28}$

---

Zadanie 32 (3 pkt) - Planimetria (trapez) ↗

Treść: W trapezie równoramiennym $ABCD$ (gdzie $AB \parallel CD$) podstawa dolna $AB = 16$ cm, podstawa górna $CD = 10$ cm, a ramię $BC = 5$ cm. Oblicz pole tego trapezu.

Rozwiązanie:

Krok 1. Wyznaczamy wysokość trapezu. Opuszczamy wysokość z wierzchołka $D$ na bok $AB$, oznaczając spodek jako $H$.

Krok 2. Różnica podstaw: $AB - CD = 16 - 10 = 6$. W trapezie równoramiennym ta różnica dzieli się równo na obie strony, więc odcinek u podstawy trójkąta prostokątnego wynosi $\frac{6}{2} = 3$ cm.

Krok 3. Trójkąt prostokątny z ramienia i wysokości:

Krok 4. Pole trapezu:
$P = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(16 + 10) \cdot 4}{2} = \frac{26 \cdot 4}{2} = \frac{104}{2} = 52 \text{ cm}^2$

Odpowiedź: Pole trapezu wynosi $52 \text{ cm}^2$

---

Zadanie 33 (5 pkt) - Stereometria (ostrosłup) ↗

Treść: Ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ ma podstawę $ABCD$ o boku $6$ cm i krawędź boczną $SA = 3\sqrt{5}$ cm.

a) Oblicz wysokość ostrosłupa.

b) Oblicz kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

c) Oblicz objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie:

a) Wysokość ostrosłupa

Podstawa jest kwadratem o boku 6 cm. Przekątna kwadratu:
$d = 6\sqrt{2}$ Punkt przecięcia przekątnych (środek podstawy) dzieli każdą przekątną na pół:
$\frac{d}{2} = 3\sqrt{2}$

Wierzchołek $S$ znajduje się nad środkiem podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $SOA$ (gdzie $O$ to środek podstawy):

$SA^2 = SO^2 + OA^2$
$(3\sqrt{5})^2 = h^2 + (3\sqrt{2})^2$
$45 = h^2 + 18$
$h^2 = 27$
$h = 3\sqrt{3} \text{ cm}$

b) Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy

Ściana boczna, np. $SAB$, jest trójkątem równoramiennym. Spodek wysokości ściany bocznej na boku $AB$ to środek $AB$, oznaczmy go $M$.

Apotema podstawy (odległość od środka $O$ do środka boku): $OM = \frac{6}{2} = 3$ cm.

Wysokość ściany bocznej (apotema ostrosłupa) - z trójkąta $SOM$:
$SM = \sqrt{h^2 + OM^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}$ Kąt nachylenia $\alpha$ ściany bocznej do podstawy:
$\tg\alpha = \frac{h}{OM} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ $\alpha = 60°$

c) Objętość ostrosłupa

Pole podstawy: $P_p = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$

$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \text{ cm}^3$

Odpowiedź: a) $h = 3\sqrt{3}$ cm, b) $\alpha = 60°$, c) $V = 36\sqrt{3}$ cm$^3$

---

Zadanie 34 (4 pkt) - Optymalizacja ↗

Treść: Rolnik chce ogrodzić prostokątne pastwisko o polu $200 \text{ m}^2$ przy ścianie stodoły (jedna dłuższa strona nie wymaga ogrodzenia). Jakie wymiary pastwiska zapewnią zużycie najmniejszej ilości ogrodzenia? Ile wynosi minimalna długość ogrodzenia?

Rozwiązanie:

Krok 1. Oznaczamy wymiary: $x$ - szerokość (prostopadle do stodoły, potrzebujemy dwóch takich boków), $y$ - długość (równolegle do stodoły, potrzebujemy jednego boku).

Krok 2. Warunek na pole:
$x \cdot y = 200 \implies y = \frac{200}{x}$ Krok 3. Długość ogrodzenia (bez ściany stodoły):
$L(x) = 2x + y = 2x + \frac{200}{x}$

Szukamy minimum dla $x > 0$.

Krok 4. Obliczamy pochodną i przyrównujemy do zera:
$L'(x) = 2 - \frac{200}{x^2} = 0$
$2 = \frac{200}{x^2}$
$x^2 = 100$
$x = 10 \text{ m}$

Krok 5. Sprawdzamy, że to minimum ($L''(x) = \frac{400}{x^3} > 0$ dla $x > 0$, więc tak, to minimum).

Krok 6. Wymiary:
$x = 10 \text{ m}, \quad y = \frac{200}{10} = 20 \text{ m}$ Minimalna długość ogrodzenia:
$L = 2 \cdot 10 + 20 = 40 \text{ m}$

Odpowiedź: Wymiary pastwiska to $10 \text{ m} \times 20 \text{ m}$, a minimalna długość ogrodzenia wynosi $40 \text{ m}$.

---

Zadanie 35 (2 pkt) - Dowód ↗

Treść: Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ wyrażenie $n^3 - n$ jest podzielne przez $6$.

Rozwiązanie:

Krok 1. Rozkładamy wyrażenie na czynniki:
$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)$

Jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych.

Krok 2. Podzielność przez 2:

Spośród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest parzysta (co druga liczba całkowita jest parzysta). Zatem iloczyn $(n-1) \cdot n \cdot (n+1)$ jest podzielny przez 2.

Krok 3. Podzielność przez 3:

Spośród trzech kolejnych liczb całkowitych dokładnie jedna daje resztę 0 przy dzieleniu przez 3 (bo reszty z dzielenia przez 3 to cyklicznie 0, 1, 2, 0, 1, 2, ...). Zatem iloczyn jest podzielny przez 3.

Krok 4. Ponieważ iloczyn jest podzielny zarówno przez 2, jak i przez 3, a $\text{NWW}(2, 3) = 6$, to iloczyn jest podzielny przez 6.

$\blacksquare$

---

Podsumowanie arkusza

Ten arkusz potwierdza stały trend: geometria analityczna i ciągi dominują w części zamkniętej. Jeśli opanujesz te dwa działy, masz szansę na 12-15 łatwych punktów. Dodaj do tego potęgi, procenty i funkcję liniową - i próg zdawalności masz w kieszeni.

W części otwartej kluczowe są umiejętności rachunkowe i systematyczność zapisu. Nawet jeśli nie umiesz rozwiązać zadania do końca (np. stereometria za 5 pkt), zapisz wszystkie kroki, które potrafisz wykonać - CKE przyznaje punkty cząstkowe.

Na Sprawnej Maturze znajdziesz wszystkie te zadania z interaktywnymi rozwiązaniami - kliknij dowolne zadanie, żeby przećwiczyć je samodzielnie.