Matura czerwiec 2025 matematyka - rozwiązania wszystkich 31 zadań

Rozwiązanie:

Równanie $|x-6|=4$ oznacza, że $x-6=4$ albo $x-6=-4$, czyli $x=10$ albo $x=2$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Zapisujemy obie liczby jako potęgi dwójki: $256=2^8$, a $\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4=2^2$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Pierwsze zdanie: z własności logarytmu potęgi $2\cdot\log_3 5=\log_3 5^2=\log_3 25$. To prawda.

Drugie zdanie: zapisujemy $2=\log_3 9$ i dodajemy logarytmy o tej samej podstawie:

$\log_3 45$ to nie $\log_3 10$, więc zdanie jest fałszywe.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Rozwijamy kwadrat sumy i upraszczamy $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$:

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Mnożymy obie strony przez $2$. Mnożymy całą lewą stronę, także ósemkę:

Największa liczba całkowita nie większa od $3{,}75$ to $3$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Iloczyn jest równy zero, gdy zeruje się któryś czynnik. Z $(x-1)^2=0$ dostajemy $x=1$, a z $x^2-25=0$ dostajemy $x=5$ lub $x=-5$. Liczba $1$ jest pierwiastkiem podwójnym, ale to nadal jedno rozwiązanie, więc rozwiązania są trzy: $-5$, $1$ i $5$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Miejsce zerowe: $\frac12 x-k=0$, czyli $x=2k$. Warunek $2k>2$ daje $k>1$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Przesunięcie wykresu o $1$ w prawo to zamiana $x$ na $x-1$:

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

a) Liczymy trzy pierwsze wyrazy: $a_1=3-3=0$, $a_2=12-6=6$, $a_3=27-9=18$. Stąd $S_3=0+6+18=24$.

b) Różnice kolejnych wyrazów to $a_2-a_1=6$ i $a_3-a_2=12$. Nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny: fałsz.

Wzór można zapisać jako $a_n=3n(n-1)$. Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych $n(n-1)$ jest zawsze parzysty, więc każdy wyraz ciągu jest parzysty: prawda.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

a) Ze wzoru $a_{25}=a_1+24r$ mamy $2=52+24r$, czyli $24r=-50$ i $r=-\frac{25}{12}$.

b) Ze wzoru na sumę:

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego $a_2^2=a_1\cdot a_3$:

Sprawdzenie: ciąg $(4, 2, 1)$ ma iloraz $\frac12$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Wyłączamy $\sin25^{\circ}$ w liczniku przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Pierwsze zdanie: gdyby $\cos\alpha=\frac37$, to $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{16}{49}+\frac{9}{49}=\frac{25}{49}$, a nie $1$. Fałsz. Z jedynki trygonometrycznej $\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{16}{49}}=\frac{\sqrt{33}}{7}$.

Drugie zdanie: kąty ostre trójkąta prostokątnego sumują się do $90^{\circ}$, więc $\cos\beta=\sin\alpha=\frac47$. Prawda.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

a) Przyprostokątne mają długości $10$ i $24$, przeciwprostokątna $26$ ($10^2+24^2=676=26^2$). Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:

b) Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej, więc $R=\frac{26}{2}=13$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Wierzchołki dzielą okrąg na $10$ łuków po $36^{\circ}$. Kąt $AGD$ opiera się na łuku $AD$ przechodzącym przez $B$ i $C$, czyli na trzech takich łukach. Kąt środkowy $ASD$ ma więc $3\cdot 36^{\circ}=108^{\circ}$, a kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest dwa razy mniejszy:

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Jeśli bok $\mathcal{K}_1$ ma długość $x$, to bok $\mathcal{K}_2$ ma długość $5x$:

Długość jest dodatnia, więc $x=\sqrt{3}$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Okrąg $\mathcal{O}$ ma środek $(-1,2)$ i promień $3$. Symetria względem osi $Oy$ zmienia znak pierwszej współrzędnej i nie zmienia promienia, więc okrąg $\mathcal{K}$ ma środek $(1,2)$ i promień $3$:

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Oznaczamy pole podstawy przez $P_p$. Pole boczne to $4P_p$, więc $P_p+4P_p=20$ i $P_p=4$. Podstawa jest kwadratem, zatem $a^2=4$ i $a=2$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny o ramionach $6$ i kącie $60^{\circ}$ między nimi, czyli trójkąt równoboczny o boku $6$. Promień podstawy to połowa boku, $r=3$, a wysokość stożka to wysokość tego trójkąta:

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Zero nie może stać na miejscu setek, więc są dwa przypadki.

• •Zero na miejscu dziesiątek: setki to cyfra od $1$ do $9$, a jedności to parzysta cyfra różna od zera ($2, 4, 6, 8$). Takich liczb jest $9\cdot 4=36$.
• •Zero na miejscu jedności (liczba jest wtedy parzysta): setki i dziesiątki to cyfry od $1$ do $9$. Takich liczb jest $9\cdot 9=81$.

Razem $36+81=117$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Z treści $a+b+c=3\cdot 12=36$. Suma sześciu liczb to $5a+5b+5c=5\cdot 36=180$, więc ich średnia wynosi $180:6=30$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Wymnażamy nawiasy:

Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc największą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku paraboli:

Liczba $3$ spełnia warunki $x\ge 1$ i $x\le 14$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Zapisujemy $a=5k+1$ i $b=5m+4$, gdzie $k$ i $m$ są liczbami całkowitymi. Wtedy:

Liczba w nawiasie jest całkowita, więc $a^2-b^2$ jest wielokrotnością $5$.

Krótsza droga: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, a $a+b=5k+5m+5=5(k+m+1)$ dzieli się przez $5$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Niech $x$ to liczba drzew posadzonych w pierwszym sadzie, a $y$ w drugim. Wtedy $x+y=1410$. W pierwszym sadzie zostało $0{,}8x$ drzew, w drugim $0{,}85y$, i z treści:

Podstawiamy $y=1410-x$:

Sprawdzenie: $y=560$. W pierwszym sadzie zostało $680$ drzew, w drugim $0{,}85\cdot 560=476$, a $0{,}7\cdot 680=476$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

$\Delta=9-8=1$, więc $x_1=\frac{-3-1}{2}=-2$ i $x_2=\frac{-3+1}{2}=-1$. Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc wartości ujemne przyjmuje między miejscami zerowymi, bez końców przedziału (nierówność jest ostra).

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Funkcja ma trzy kawałki: $f(x)=-x-2$ dla $x\in(-5,-2]$, $f(x)=0$ dla $x\in(-2,1]$ oraz $f(x)=x$ dla $x\in(1,3]$.

1. 1.Dziedzina to suma tych przedziałów: $(-5,3]$.
2. 2.Zbiór wartości: na pierwszym kawałku wartości wypełniają $[0,3)$ (dla $x=-5$, które nie należy do dziedziny, byłoby $3$), na drugim jest tylko $0$, na trzecim $(1,3]$. Razem $[0,3]$.
3. 3.Miejsca zerowe: $-x-2=0$ daje $x=-2$, a ta liczba należy do pierwszego przedziału. Na całym przedziale $(-2,1]$ funkcja jest równa $0$. Razem $[-2,1]$.
4. 4.$f(-3)=3-2=1$, więc szukamy $f(x)\lt 1$. Na pierwszym kawałku $-x-2\lt 1$ daje $x>-3$, czyli $x\in(-3,-2]$. Na drugim $0\lt 1$ dla całego $(-2,1]$. Na trzecim $x\lt 1$ przeczy warunkowi $x>1$. Razem $(-3,1]$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Miejsca zerowe leżą symetrycznie względem osi $x=-1$. Liczba $1$ jest o $2$ na prawo od osi, więc drugie miejsce zerowe to $-3$. Postać iloczynowa:

Punkt $(2,15)$: $15=a\cdot 1\cdot 5$, więc $a=3$.

Wierzchołek leży na osi symetrii: $p=-1$, $q=f(-1)=3\cdot(-2)\cdot 2=-12$.

Sprawdzenie: $f(2)=3\cdot 9-12=15$ i $f(1)=3\cdot 4-12=0$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc $l: y=5x+b$. Prosta przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-4)$, czyli $b=-4$ i $l: y=5x-4$. Podstawiamy punkt $(p,2)$:

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Krawędzie mają długości $x$, $4x$ i $16x$. Pole powierzchni całkowitej:

Krawędzie mają więc długości $0{,}75$, $3$ i $12$, a objętość:

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Wszystkich par jest $|\Omega|=6\cdot 4=24$. Iloczyn $x\cdot y\ge 0$ dają pary:

• •obie liczby ujemne: $3\cdot 2=6$,
• •obie liczby dodatnie: $2\cdot 1=2$,
• •$x=0$ i dowolne $y$: $4$,
• •$y=0$ i $x\ne 0$: $5$.

Razem $|A|=6+2+4+5=17$. Sprawdzenie przez zdarzenie przeciwne: iloczyn ujemny daje $3\cdot 1+2\cdot 2=7$ par, a $24-7=17$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Z tabeli: $0$ punktów ma $4$ uczniów, $1$ punkt $2$ uczniów, $2$ punkty $5$, $3$ punkty $5$, $4$ punkty $11$, a $5$ punktów $5$ uczniów.

Średnia:

Mniej niż $3$ punkty (czyli $0$, $1$ lub $2$) ma $4+2+5=11$ uczniów.

Mediana: uczniów jest $32$, więc to średnia $16.$ i $17.$ wyniku w uporządkowanym zestawie. Wyniki od $0$ do $3$ punktów ma $16$ osób, więc $16.$ wynik to $3$, a $17.$ to $4$. Mediana wynosi $\frac{3+4}{2}=3{,}5$.

Dominanta to wynik, który wystąpił najczęściej: $4$ punkty ($11$ uczniów).

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze