Matura czerwiec 2025 matematyka - rozwiązania całego arkusza krok po kroku

Rozwiązanie:

Sprowadzamy wszystko do podstawy 2:

$\frac{2^3 \cdot (2^2)^2}{(2^3)^2} = \frac{2^3 \cdot 2^4}{2^6} = \frac{2^7}{2^6} = 2^1 = 2$

---

Rozwiązanie:

$250 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}9 = 250 \cdot 1{,}08 = 270 \text{ zł}$

---

Rozwiązanie:

$-2x + 6 = 0$
$-2x = -6$
$x = 3$

---

Rozwiązanie:

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

---

Rozwiązanie:

$S = \left(\frac{-2 + 6}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2},\ \frac{2}{2}\right) = (2,\ 1)$

---

Rozwiązanie:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-1) + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|12 + 3 + 2|}{\sqrt{25}} = \frac{17}{5}$

---

Rozwiązanie:

Równanie kanoniczne okręgu: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Porównując: $a = 2$, $b = -3$ (bo $y + 3 = y - (-3)$), $r^2 = 25$, więc $r = 5$.

Typowa pułapka: pomylenie znaków. Jeśli w równaniu jest $(y + 3)$, to środek ma $b = -3$, nie $3$.

---

Rozwiązanie:

Proste prostopadłe spełniają warunek $a_1 \cdot a_2 = -1$.

$3 \cdot a_2 = -1 \implies a_2 = -\frac{1}{3}$

---

Rozwiązanie:

$a_8 = a_1 + 7r = 5 + 7 \cdot (-3) = 5 - 21 = -16$

Uwaga na indeksowanie: dla $a_8$ mnożysz $r$ przez $7$ (nie przez $8$).

---

Rozwiązanie:

$S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2} = \frac{(2 + 20) \cdot 10}{2} = \frac{220}{2} = 110$

---

Rozwiązanie:

$a_6 = a_1 \cdot q^5 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96$

---

Rozwiązanie:

$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

Wyróżnik równy zero oznacza jeden podwójny pierwiastek: $x = \frac{6}{2} = 3$.

Można też zauważyć, że $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

---

Rozwiązanie:

Postać kanoniczna: $y = a(x - p)^2 + q$, więc wierzchołek $W = (p, q) = (3, 1)$.

---

Rozwiązanie:

Szukamy $f(x) \geq 0$:
$-x^2 + 4x - 3 \geq 0$
$x^2 - 4x + 3 \leq 0$
$(x - 1)(x - 3) \leq 0$

Miejsca zerowe: $x = 1$ i $x = 3$. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni (po zamianie znaków), więc parabola jest skierowana w górę i nierówność zachodzi dla $x \in [1, 3]$.

---

Rozwiązanie:

$\log_2 32 - \log_2 4 = \log_2 \frac{32}{4} = \log_2 8 = 3$

Alternatywnie: $\log_2 32 = 5$, $\log_2 4 = 2$, różnica $5 - 2 = 3$.

---

Rozwiązanie:

$\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}$

W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni.

---

Rozwiązanie:

Z jedynki trygonometrycznej:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

Ponieważ $\alpha \in (0°, 90°)$, to $\sin\alpha = \frac{4}{5}$.

$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$

---

Rozwiązanie:

Wszystkich kul: $3 + 5 = 8$. Sprzyjających (białe): $3$.

$P = \frac{3}{8}$

---

Rozwiązanie:

Uporządkowany zbiór: $2, 3, 5, 7, 9$.

Mediana to środkowy element (5 liczb, więc trzeci): $5$.

---

Rozwiązanie:

Mianownik nie może być zerem: $x - 2 \neq 0$, więc $x \neq 2$.

Choć $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ i można skrócić do $x + 2$, to dziedzina oryginalnej funkcji nadal wyklucza $x = 2$ (bo mianownik byłby zerem).

---

Rozwiązanie:

$(\sqrt{3})^4 = (3^{\frac{1}{2}})^4 = 3^2 = 9$ $9 \cdot 3^{-1} = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$

---

Rozwiązanie:

Ze wzorów Viete'a: suma pierwiastków wielomianu $x^3 + bx^2 + cx + d$ wynosi $-b$.

Tutaj $b = -6$, więc suma pierwiastków $= -(-6) = 6$.

Można też sprawdzić: $W(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$, $W(2) = 8 - 24 + 22 - 6 = 0$, $W(3) = 27 - 54 + 33 - 6 = 0$.

Pierwiastki to $1, 2, 3$ i ich suma wynosi $6$. Zgadza się.

---

$\frac{x + 3}{x - 1} = 2 + \frac{4}{x^2 - 1}$

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Wyznaczamy dziedzinę. Mianowniki nie mogą być zerami:
   

   • •$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
   • •$x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$ i $x \neq -1$

   Dziedzina: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$

2. Krok 2

   Zauważamy, że $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Mnożymy obie strony przez $(x-1)(x+1)$:

   $(x + 3)(x + 1) = 2(x - 1)(x + 1) + 4$
3. Krok 3
   Rozwijamy:
   $x^2 + 4x + 3 = 2(x^2 - 1) + 4$
   $x^2 + 4x + 3 = 2x^2 - 2 + 4$
   $x^2 + 4x + 3 = 2x^2 + 2$
4. Krok 4
   Przenosimy na jedną stronę:
   $0 = x^2 - 4x - 1$
5. Krok 5
   Obliczamy wyróżnik:
   $\Delta = 16 + 4 = 20$
   $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{5}$$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$
6. Krok 6

   Sprawdzamy dziedzinę: $2 + \sqrt{5} \approx 4{,}24$ i $2 - \sqrt{5} \approx -0{,}24$. Obie wartości należą do dziedziny.

---

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Oznaczamy wyrazy jako $a - r$, $a$, $a + r$ (środkowy wyraz i różnica).

2. Krok 2
   Z sumy:
   $(a - r) + a + (a + r) = 21$
   $3a = 21$
   $a = 7$
3. Krok 3
   Z iloczynu:
   $(7 - r) \cdot 7 \cdot (7 + r) = 315$
   $7(49 - r^2) = 315$
   $49 - r^2 = 45$
   $r^2 = 4$
   $r = \pm 2$
4. Krok 4

   Wyrazy ciągu:
   

   • •Dla $r = 2$: $5,\ 7,\ 9$
   • •Dla $r = -2$: $9,\ 7,\ 5$

   Oba rozwiązania są poprawne (ten sam ciąg w odwrotnej kolejności).

---

Rozwiązanie:

1. Krok 1
   Obliczamy liczbę wszystkich możliwych wyborów 2 kul z 8:
   $\binom{8}{2} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$
2. Krok 2

   Zdarzenia sprzyjające:
   

   • •2 czerwone: $\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$
   • •2 niebieskie: $\binom{3}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$

   Łącznie: $10 + 3 = 13$

3. Krok 3
   Prawdopodobieństwo:
   $P = \frac{13}{28}$

---

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Wyznaczamy wysokość trapezu. Opuszczamy wysokość z wierzchołka $D$ na bok $AB$, oznaczając spodek jako $H$.

2. Krok 2

   Różnica podstaw: $AB - CD = 16 - 10 = 6$. W trapezie równoramiennym ta różnica dzieli się równo na obie strony, więc odcinek u podstawy trójkąta prostokątnego wynosi $\frac{6}{2} = 3$ cm.

3. Krok 3

   Trójkąt prostokątny z ramienia i wysokości:
   

   • •Przeciwprostokątna (ramię) = 5 cm
   • •Jedna przyprostokątna = 3 cm
   • •Wysokość $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ cm

4. Krok 4
   Pole trapezu:
   $P = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(16 + 10) \cdot 4}{2} = \frac{26 \cdot 4}{2} = \frac{104}{2} = 52 \text{ cm}^2$

---

a) Oblicz wysokość ostrosłupa.

b) Oblicz kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

c) Oblicz objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie:

a) Wysokość ostrosłupa

Podstawa jest kwadratem o boku 6 cm. Przekątna kwadratu:
$d = 6\sqrt{2}$ Punkt przecięcia przekątnych (środek podstawy) dzieli każdą przekątną na pół:
$\frac{d}{2} = 3\sqrt{2}$

Wierzchołek $S$ znajduje się nad środkiem podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $SOA$ (gdzie $O$ to środek podstawy):

$SA^2 = SO^2 + OA^2$
$(3\sqrt{5})^2 = h^2 + (3\sqrt{2})^2$
$45 = h^2 + 18$
$h^2 = 27$
$h = 3\sqrt{3} \text{ cm}$

b) Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy

Ściana boczna, np. $SAB$, jest trójkątem równoramiennym. Spodek wysokości ściany bocznej na boku $AB$ to środek $AB$, oznaczmy go $M$.

Apotema podstawy (odległość od środka $O$ do środka boku): $OM = \frac{6}{2} = 3$ cm.

Wysokość ściany bocznej (apotema ostrosłupa) - z trójkąta $SOM$:
$SM = \sqrt{h^2 + OM^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}$ Kąt nachylenia $\alpha$ ściany bocznej do podstawy:
$\tg\alpha = \frac{h}{OM} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ $\alpha = 60°$

c) Objętość ostrosłupa

Pole podstawy: $P_p = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$

$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \text{ cm}^3$

---

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Oznaczamy wymiary: $x$ - szerokość (prostopadle do stodoły, potrzebujemy dwóch takich boków), $y$ - długość (równolegle do stodoły, potrzebujemy jednego boku).

2. Krok 2
   Warunek na pole:
   $x \cdot y = 200 \implies y = \frac{200}{x}$
3. Krok 3
   Długość ogrodzenia (bez ściany stodoły):
   $L(x) = 2x + y = 2x + \frac{200}{x}$

   Szukamy minimum dla $x > 0$.

4. Krok 4
   Obliczamy pochodną i przyrównujemy do zera:
   $L'(x) = 2 - \frac{200}{x^2} = 0$
   $2 = \frac{200}{x^2}$
   $x^2 = 100$
   $x = 10 \text{ m}$
5. Krok 5

   Sprawdzamy, że to minimum ($L''(x) = \frac{400}{x^3} > 0$ dla $x > 0$, więc tak, to minimum).

6. Krok 6
   Wymiary:
   $x = 10 \text{ m}, \quad y = \frac{200}{10} = 20 \text{ m}$Minimalna długość ogrodzenia:
   $L = 2 \cdot 10 + 20 = 40 \text{ m}$

---

Rozwiązanie:

1. Krok 1
   Rozkładamy wyrażenie na czynniki:
   $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)$

   Jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych.

2. Krok 2

   Podzielność przez 2:

   Spośród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest parzysta (co druga liczba całkowita jest parzysta). Zatem iloczyn $(n-1) \cdot n \cdot (n+1)$ jest podzielny przez 2.

3. Krok 3

   Podzielność przez 3:

   Spośród trzech kolejnych liczb całkowitych dokładnie jedna daje resztę 0 przy dzieleniu przez 3 (bo reszty z dzielenia przez 3 to cyklicznie 0, 1, 2, 0, 1, 2, ...). Zatem iloczyn jest podzielny przez 3.

4. Krok 4

   Ponieważ iloczyn jest podzielny zarówno przez 2, jak i przez 3, a $\text{NWW}(2, 3) = 6$, to iloczyn jest podzielny przez 6.

   $\blacksquare$

---