Karta wzorów CKE 2027 - co jest na karcie, czego brakuje i jak z niej korzystać

Czym jest karta wzorów CKE?

"Wybrane wzory matematyczne" - tak oficjalnie nazywa się karta wzorów, którą dostajesz razem z arkuszem maturalnym. Nie musisz jej przynosić, nie musisz jej kupować, nie musisz jej drukować. CKE dołącza ją automatycznie do każdego arkusza z matematyki - zarówno na poziomie podstawowym, jak i rozszerzonym.

Karta ma 4 strony i zawiera wzory pogrupowane tematycznie. Jest identyczna dla wszystkich zdających w danym roku. Nie możesz wnosić własnej wersji - na sali egzaminacyjnej korzystasz wyłącznie z tej, którą dostałeś w arkuszu. Szczegóły o tym, co wolno i czego nie wolno mieć na egzaminie, znajdziesz w naszej checkliście maturzysty.

Karta wzorów to potężne narzędzie, ale tylko jeśli umiesz z niej korzystać. Wielu maturzystów traktuje ją jako dekorację - nie wiedzą, co na niej jest, i tracą cenne minuty na szukanie wzorów w trakcie egzaminu. Ten artykuł ma temu zapobiec.

Pełna lista wzorów na karcie CKE - pogrupowana tematycznie

Poniżej znajdziesz wszystkie wzory z oficjalnej karty CKE, pogrupowane tak jak na karcie. Przy każdym wzorze dodaję krótkie wyjaśnienie, kiedy go potrzebujesz.

1. Wzory skróconego mnożenia

Te wzory pojawiają się na karcie i są absolutną podstawą algebry. Potrzebujesz ich przy upraszczaniu wyrażeń algebraicznych, rozkładaniu na czynniki i rozwiązywaniu równań.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Kiedy potrzebujesz: Rozkładanie wielomianów na czynniki, upraszczanie ułamków algebraicznych, rozwiązywanie równań wielomianowych. Na maturze pojawiają się regularnie w zadaniach zamkniętych - szczególnie różnica kwadratów $a^2 - b^2$ i kwadrat sumy/różnicy. Sprawdź zadania z wyrażeń algebraicznych.

2. Logarytmy

Wzory logarytmiczne z karty CKE. Pełne omówienie logarytmów wraz z zadaniami znajdziesz w artykule o logarytmach na maturze.

$\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$ $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ $\log_a x^w = w \cdot \log_a x$ $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{1}{\log_b a}$

Kiedy potrzebujesz: Upraszczanie wyrażeń logarytmicznych, rozwiązywanie równań logarytmicznych, obliczanie wartości logarytmów o nietypowych podstawach. Wzór na zamianę podstawy (ostatni) pojawia się rzadziej na poziomie podstawowym, ale jest kluczowy na rozszerzeniu.

3. Ciągi arytmetyczne i geometryczne

Wzory dotyczące ciągów. Dogłębne omówienie wraz z zadaniami CKE znajdziesz w artykule o ciągach arytmetycznych i geometrycznych.

Ciąg arytmetyczny:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$ $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Ciąg geometryczny:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{dla } q \neq 1$

Kiedy potrzebujesz: Zadania z ciągami stanowią stały element matury - zwykle 2-3 zadania zamknięte i 1 otwarte. Musisz umieć wyznaczyć $n$-ty wyraz, sumę $n$ wyrazów, znaleźć różnicę $r$ lub iloraz $q$. Przećwicz na zadaniach z ciągów.

4. Trygonometria

Wzory trygonometryczne dostępne na karcie. Pełne omówienie w artykule o trygonometrii na maturze.

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów charakterystycznych:

Twierdzenie sinusów:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

Twierdzenie cosinusów:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha$

Kiedy potrzebujesz: Zadania z trygonometrii pojawiają się na każdej maturze. Jedynka trygonometryczna i wartości kątów charakterystycznych to pewniaki maturalne. Twierdzenia sinusów i cosinusów potrzebujesz w zadaniach z trójkątami, gdzie znasz boki i kąty - częste w planimetrii.

5. Planimetria - wzory na pola i obwody figur

Wzory geometryczne z karty to jedna z najobszerniejszych sekcji. Szczegółowe omówienie znajdziesz w artykule o planimetrii na maturze.

Pole trójkąta:

$P = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} a b \sin \gamma = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

gdzie $s = \frac{a + b + c}{2}$ (połowa obwodu)

Pole prostokąta:

$P = a \cdot b$

Pole rombu:

$P = a \cdot h = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$

Pole trapezu:

$P = \frac{1}{2}(a + b) \cdot h$

Pole koła i długość okręgu:

$P = \pi r^2, \quad L = 2\pi r$

Pole wycinka koła i długość łuku:

$P_w = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2, \quad l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$

Twierdzenie Pitagorasa:

$a^2 + b^2 = c^2$

Kiedy potrzebujesz: Praktycznie na każdej maturze. Pole trójkąta z sinusem kąta i wzór Herona to narzędzia do zadań otwartych z planimetrii. Twierdzenie Pitagorasa to fundament - pojawia się nie tylko w geometrii, ale też w geometrii analitycznej (odległość punktów) i stereometrii (przekątne brył).

6. Stereometria - objętości i pola powierzchni brył

Wzory na bryły - kluczowe dla zadań ze stereometrii na maturze.

Graniastosłup:

$V = P_p \cdot H$ $P_c = P_{boczna} + 2P_p$

Ostrosłup:

$V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$

Walec:

$V = \pi r^2 H$ $P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H$

Stożek:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H$ $P_c = \pi r^2 + \pi r l$

gdzie $l$ to tworząca stożka

Kula:

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ $P = 4\pi r^2$

Kiedy potrzebujesz: Na każdej maturze jest co najmniej 1-2 zadania ze stereometrii. Typowe scenariusze: oblicz objętość ostrosłupa wpisanego w graniastosłup, wyznacz pole powierzchni walca o danym stosunku wymiarów, oblicz kąt między krawędzią a podstawą. Przećwicz na zadaniach z brył.

7. Geometria analityczna

Wzory z geometrii analitycznej z karty CKE. Pełne omówienie w artykule o geometrii analitycznej na maturze.

Odległość dwóch punktów:

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Środek odcinka:

$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$

Równanie prostej (kierunkowe):

$y = ax + b$

Równanie prostej (ogólne):

$Ax + By + C = 0$

Równanie okręgu:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Kiedy potrzebujesz: Geometria analityczna to 2-4 zadania na każdej maturze. Odległość punktów, środek odcinka i równanie prostej to absolutna podstawa. Równanie okręgu pojawia się rzadziej, ale gdy się pojawia - bez wzoru jesteś bezradny.

8. Kombinatoryka

Wzory kombinatoryczne na karcie CKE. Więcej w artykule o prawdopodobieństwie i kombinatoryce.

Permutacja (bez powtórzeń):

$P_n = n!$

Wariacja bez powtórzeń:

$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Kombinacja bez powtórzeń (symbol Newtona):

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Kiedy potrzebujesz: Zadania z kombinatoryki i prawdopodobieństwa pojawiają się na każdej maturze - zwykle 1-2 zamknięte i czasem 1 otwarte. Symbol Newtona (kombinacja) jest najczęściej potrzebny - np. "na ile sposobów można wybrać 3 osoby z grupy 10?"

Czego NIE MA na karcie - wzory do zapamiętania

To jest kluczowa sekcja tego artykułu. Karta CKE zawiera sporo, ale wielu ważnych wzorów na niej brakuje. Te wzory musisz znać na pamięć. Pełną listę z omówieniem znajdziesz w artykule o wzorach spoza tablic.

Funkcja kwadratowa - delta i wzory na pierwiastki

Tego nie ma na karcie, a potrzebujesz na każdej maturze! Pełne omówienie w artykule o funkcji kwadratowej.

$\Delta = b^2 - 4ac$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ $x_w = \frac{-b}{2a}, \quad y_w = \frac{-\Delta}{4a}$

Postać kanoniczna:

$f(x) = a(x - p)^2 + q$

Postać iloczynowa (gdy $\Delta \geq 0$):

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$

Wzory Viete'a:

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Funkcja liniowa

Wzoru prostej $y = ax + b$ nie trzeba pamiętać specjalnie (jest na karcie w sekcji geometrii analitycznej), ale wzoru na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów nie ma:

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Więcej o funkcji liniowej na maturze.

Potęgi i pierwiastki - własności

Na karcie CKE nie ma podstawowych własności potęg, a są absolutnie kluczowe. Omówienie w artykule o potęgach i pierwiastkach.

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ $a^0 = 1 \quad \text{(dla } a \neq 0\text{)}$

Procenty

Na karcie CKE nie ma żadnych wzorów na procenty, a zadania procentowe to pewniaki maturalne. Pełne omówienie w artykule o procentach na maturze.

Podwyżka o $p\%$:

$W_{po} = W_{przed} \cdot (1 + \frac{p}{100})$

Obniżka o $p\%$:

$W_{po} = W_{przed} \cdot (1 - \frac{p}{100})$

Procent składany:

$K_n = K_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$

Zmiana procentowa:

$\text{zmiana} = \frac{W_{nowa} - W_{stara}}{W_{stara}} \cdot 100\%$

Prawdopodobieństwo klasyczne

Na karcie nie ma definicji prawdopodobieństwa:

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

Ani prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego:

$P(A') = 1 - P(A)$

Statystyka

Na karcie nie ma wzorów na statystykę:

Średnia arytmetyczna:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$

Mediana - wartość środkowa po uporządkowaniu danych.

Odchylenie standardowe:

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$

Funkcja wykładnicza

Na karcie nie ma wzorów dotyczących funkcji wykładniczej:

$a^x = b \iff x = \log_a b$

Jak efektywnie korzystać z karty na egzaminie

Karta wzorów to narzędzie, które oszczędza czas - ale tylko wtedy, gdy wiesz, gdzie czego szukać. Oto praktyczne wskazówki.

Poznaj kartę PRZED maturą

To najważniejsza rada w całym artykule. Nie otwieraj karty wzorów po raz pierwszy na egzaminie. Pobierz ją ze strony CKE (lub skorzystaj z niniejszego artykułu) i ćwicz z nią rozwiązywanie zadań przynajmniej przez ostatnie 2-3 tygodnie przed maturą.

Rozwiązuj arkusze maturalne z lat ubiegłych z kartą obok. Po kilku arkuszach będziesz dokładnie wiedział, na której stronie karty jest wzór na pole trapezu, a na której symbol Newtona.

Zapamiętaj układ karty

Karta wzorów CKE ma stały układ:

1. 1.Strona 1: Wzory skróconego mnożenia, logarytmy
2. 2.Strona 2: Ciągi, trygonometria (jedynka, tabelka kątów, tw. sinusów i cosinusów)
3. 3.Strona 3: Planimetria (pola figur, Pitagoras), stereometria (objętości brył)
4. 4.Strona 4: Geometria analityczna, kombinatoryka

Zapamiętaj, na której stronie jest co. Na egzaminie chcesz otworzyć kartę na konkretnej stronie, nie przewracać gorączkowo czterech stron.

Nie trać czasu na szukanie wzorów, które znasz

Jeśli znasz wzór na pamięć - nie sprawdzaj go na karcie. To strata 20-30 sekund za każdym razem. Kartę otwieraj tylko wtedy, gdy:

• •Nie pamiętasz wzoru
• •Chcesz sprawdzić, czy dobrze pamiętasz (np. czy we wzorze Herona jest plus czy minus)
• •Potrzebujesz dokładnej wartości trygonometrycznej (np. $\cos 30°$)

Zaznacz wzory, których nie znasz

W trakcie nauki przed maturą rób sobie listę wzorów z karty, których nie pamiętasz. Skup się na zapamiętaniu tych właśnie wzorów - wtedy na egzaminie będziesz mógł je szybko znaleźć, bo będziesz wiedzieć, że są na konkretnej stronie.

Uważaj na wzory, których na karcie NIE MA

To pułapka, w którą wpada wielu maturzystów. Szukają na karcie delty, wzoru na procent składany albo własności potęg - i tracą minuty, bo tych wzorów tam po prostu nie ma. Przeczytaj sekcję powyżej ("Czego NIE MA na karcie") i zapamiętaj te wzory na pamięć.

Ćwiczenia z kartą przed maturą

Oto konkretny plan oswajania się z kartą wzorów.

Tydzień 1 (5-6 tygodni przed maturą): Poznaj kartę

1. 1.Wydrukuj kartę wzorów CKE
2. 2.Przeczytaj każdy wzór i zapisz obok, do czego służy
3. 3.Zaznacz wzory, których nie znasz
4. 4.Rozwiąż 1 arkusz maturalny z kartą obok

Tydzień 2-3: Ćwicz z kartą

1. 1.Rozwiązuj zadania maturalne z kartą CKE i zegarkiem
2. 2.Za każdym razem, gdy sięgasz po kartę, zapisz, czego szukałeś
3. 3.Po tygodniu przejrzyj listę - najczęściej szukane wzory zapamiętaj
4. 4.Ćwicz szybkie znajdowanie wzorów (otwórz kartę na właściwej stronie w 3 sekundy)

Tydzień 4-5: Symulacja egzaminowa

1. 1.Rozwiąż pełny arkusz w 180 minut z kartą - symulator matury online
2. 2.Zmierz, ile czasu tracisz na szukanie wzorów
3. 3.Cel: maksymalnie 3-4 razy sięgnąć po kartę w trakcie arkusza
4. 4.Resztę wzorów powinieneś już znać na pamięć

Sprawdź nasz plan nauki na ostatnie tygodnie przed maturą, żeby wkomponować ćwiczenia z kartą w szerszą strategię powtórkową.

Karta wzorów - formuła 2015 vs formuła 2023

Od matury 2023 obowiązuje nowa formuła egzaminu. Karta wzorów jest praktycznie identyczna w obu formułach - CKE nie zmieniło zestawu wzorów przy przejściu na nową formułę.

Różnice między formułami dotyczą struktury arkusza (inna liczba zadań, inny rozkład punktów), a nie karty wzorów. Szczegółowe porównanie obu formuł znajdziesz w artykule o różnicach między formułą 2015 a 2023.

Jeśli ćwiczysz na starszych arkuszach (2015-2022), możesz spokojnie używać tej samej karty wzorów - wzory się nie zmieniły.

Najczęstsze błędy związane z kartą wzorów

Na podstawie doświadczeń z najczęstszych błędów maturalnych - oto pułapki związane z kartą:

1. Szukanie wzoru, którego nie ma

Maturzysta szuka na karcie wzoru na deltę, traci 2 minuty na przewracanie stron i panikuje. Delta nie jest na karcie. Wzory na procenty nie są na karcie. Własności potęg nie są na karcie. Zapamiętaj, czego nie ma.

2. Mylenie wzorów

Na karcie jest wzór na pole trójkąta w trzech wersjach. Maturzysta bierze wzór Herona zamiast $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$, bo go nie rozpoznaje. Albo podstawia do wzoru na pole rombu wymiary trapezu. Poznaj każdy wzór i wiedz, kiedy go stosować.

3. Przepisywanie wzoru z błędem

Maturzysta kopiuje wzór z karty, ale myli znak lub wykładnik. Np. pisze $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc\cos\alpha$ zamiast $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$. Różnica jednego znaku = błędny wynik. Przepisuj uważnie i sprawdzaj.

4. Nadmierne poleganie na karcie

Niektórzy maturzyści otwierają kartę przy każdym zadaniu, nawet przy $2^3 = 8$. To strata czasu. Karta jest od wzorów, których naprawdę nie pamiętasz, a nie od banałów.

Podsumowanie - co zapamiętać o karcie wzorów CKE

1. 1.Karta jest częścią arkusza - dostajesz ją automatycznie, nie musisz przynosić
2. 2.Ma 4 strony z wzorami pogrupowanymi tematycznie
3. 3.Zawiera wzory na: wzory skróconego mnożenia, logarytmy, ciągi, trygonometrię, planimetrię, stereometrię, geometrię analityczną, kombinatorykę
4. 4.NIE zawiera wzorów na: deltę, postaci funkcji kwadratowej, własności potęg, procenty, prawdopodobieństwo klasyczne, statystykę, współczynnik kierunkowy z dwóch punktów
5. 5.Poznaj kartę przed maturą - ćwicz z nią przynajmniej 3 tygodnie przed egzaminem
6. 6.Zapamiętaj układ - wiedz, na której stronie jest który wzór
7. 7.Nie trać czasu na szukanie wzorów, które znasz na pamięć

Powodzenia na maturze! Jeśli chcesz przećwiczyć zastosowanie wzorów z karty w praktyce, wejdź na Sprawną Maturę - mamy ponad 2300 zadań maturalnych z rozwiązaniami, pogrupowanych tematycznie i według arkuszy. Zacznij od pewniaków maturalnych, a potem ćwicz to, z czym masz najwięcej problemów.

Następny krok Losuj kolejne zadanie