Wzory na maturę z matematyki 2027 - kompletna lista wszystkich wzorów z przykładami

To jest jedyna lista wzorów, jakiej potrzebujesz do matury z matematyki. Zebrałem tutaj absolutnie każdy wzór, który może Ci się przydać na egzaminie - od podstawowej algebry po kombinatorykę. Przy każdym wzorze znajdziesz oznaczenie:

• •$K$ - wzór jest na karcie wzorów CKE (nie musisz go pamiętać, ale musisz umieć z niego korzystać)
• •$P$ - wzór musisz znać na pamięć (nie ma go na karcie)
• •$R$ - wzór przydatny na rozszerzeniu

Jeśli szukasz wzorów, których nie ma na karcie CKE, przeczytaj też wzory spoza tablic, które musisz znać. A jeśli chcesz zobaczyć, co dokładnie jest na karcie - zajrzyj do przewodnika po karcie wzorów CKE 2027.

---

Algebra - potęgi, pierwiastki, logarytmy

Potęgi $P$

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ $a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Potęga o wykładniku wymiernym:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a > 0)$

Więcej o potęgach znajdziesz w przewodniku po potęgach i pierwiastkach.

Pierwiastki $P$

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a, b \geq 0)$ $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \geq 0, \ b > 0)$ $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

Usuwanie niewymierności z mianownika:

$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$ $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$

Logarytmy $P$

Definicja: $\log_a b = c \iff a^c = b$ dla $a > 0, a \neq 1, b > 0$.

$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$ $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ $\log_a x^n = n \cdot \log_a x$ $\log_a a = 1$ $\log_a 1 = 0$

Zmiana podstawy logarytmu:

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Szczególny przypadek:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

Pełny przewodnik po logarytmach znajdziesz tutaj.

Wzory skróconego mnożenia $P$

$( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $( a - b )^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Więcej zastosowań w przewodniku po wzorach skróconego mnożenia.

---

Funkcja liniowa $P$

Postać kierunkowa:

$y = ax + b$

gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ to wyraz wolny (punkt przecięcia z osią OY).

Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów $A(x_1, y_1)$ i $B(x_2, y_2)$:

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Miejsce zerowe:

$x_0 = -\frac{b}{a} \quad (a \neq 0)$

Warunki równoległości i prostopadłości prostych:

$\text{równoległe: } a_1 = a_2$ $\text{prostopadłe: } a_1 \cdot a_2 = -1$

Cały przewodnik po funkcji liniowej na maturze.

---

Funkcja kwadratowa

Postać ogólna:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Wyróżnik (delta) $K$

$\Delta = b^2 - 4ac$

Miejsca zerowe $K$

Gdy $\Delta > 0$ - dwa pierwiastki:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Gdy $\Delta = 0$ - jeden pierwiastek podwójny:

$x_0 = \frac{-b}{2a}$

Gdy $\Delta < 0$ - brak pierwiastków rzeczywistych.

Wierzchołek paraboli $P$

$p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{\Delta}{4a}$

Wierzchołek: $W = (p, q)$.

Postać kanoniczna $P$

$f(x) = a(x - p)^2 + q$

Postać iloczynowa $P$

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \quad \text{(gdy } \Delta \geq 0\text{)}$

Wzory Viete'a $P$

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Kompletny przewodnik po funkcji kwadratowej na maturze.

---

Wielomiany

Twierdzenie Bezout $P$

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x - a)$ jest równa $W(a)$.

$W(x) = (x - a) \cdot Q(x) + W(a)$

Stąd: jeśli $W(a) = 0$, to $(x - a)$ jest dzielnikiem wielomianu $W(x)$.

Wzory Viete'a dla wielomianów $R$

Dla wielomianu $W(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0$ o pierwiastkach $x_1, x_2, \ldots, x_n$:

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$ $x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n = (-1)^n \cdot \frac{a_0}{a_n}$

Więcej w przewodniku po wielomianach.

---

Ciągi liczbowe

Ciąg arytmetyczny $K$

Wzór na n-ty wyraz:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

gdzie $r$ to różnica ciągu.

Suma n pierwszych wyrazów:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$ Własność środków arytmetycznych $P$: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Ciąg geometryczny $K$

Wzór na n-ty wyraz:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

gdzie $q$ to iloraz ciągu.

Suma n pierwszych wyrazów (dla $q \neq 1$):

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ Własność środków geometrycznych $P$: $a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$ Suma nieskończonego ciągu geometrycznego ($|q| < 1$) $R$: $S = \frac{a_1}{1 - q}$

Kompletny przewodnik po ciągach na maturze.

---

Trygonometria

Definicje w trójkącie prostokątnym $P$

$\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}}$ $\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}}$ $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko}}{\text{przyprostokątna przy kącie}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Jedynka trygonometryczna $P$

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Wartości funkcji trygonometrycznych $P$

Wzory redukcyjne $P$

$\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha, \quad \cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha$ $\sin(180° + \alpha) = -\sin \alpha, \quad \cos(180° + \alpha) = -\cos \alpha$ $\sin(360° - \alpha) = -\sin \alpha, \quad \cos(360° - \alpha) = \cos \alpha$ $\sin(90° - \alpha) = \cos \alpha, \quad \cos(90° - \alpha) = \sin \alpha$

Twierdzenie sinusów $K$

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Twierdzenie cosinusów $K$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Pole trójkąta z sinusa kąta $K$

$P = \frac{1}{2} ab \sin C$

Wszystko o trygonometrii w kompletnym przewodniku.

Zależności w trójkątach szczególnych $P$

Trójkąt 30-60-90 - proporcje boków $1 : \sqrt{3} : 2$.

Trójkąt 45-45-90 - proporcje boków $1 : 1 : \sqrt{2}$.

Szczegóły w przewodniku po trójkątach szczególnych.

---

Planimetria - pola i obwody figur

Trójkąt $K$

$P = \frac{1}{2} a \cdot h_a$ $P = \frac{1}{2} a b \sin C$

Wzór Herona ($s = \frac{a+b+c}{2}$):

$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Więcej wzorów na pole trójkąta w osobnym przewodniku - 8 wzorów.

Prostokąt $P$

$P = a \cdot b, \quad \text{obwód} = 2(a + b)$

Przekątna: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Kwadrat $P$

$P = a^2 = \frac{d^2}{2}, \quad \text{obwód} = 4a$

Przekątna: $d = a\sqrt{2}$

Równoległobok $P$

$P = a \cdot h = a \cdot b \cdot \sin \alpha$

Romb $P$

$P = a \cdot h = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$

gdzie $d_1, d_2$ to przekątne.

Trapez $P$

$P = \frac{a + b}{2} \cdot h$

gdzie $a, b$ to podstawy, $h$ to wysokość.

Koło $P$

$P = \pi r^2, \quad \text{obwód} = 2\pi r$

Wycinek koła $K$

Pole wycinka o kącie środkowym $\alpha$ (w stopniach):

$P_w = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$

Długość łuku:

$l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$

Twierdzenie Pitagorasa $P$

$a^2 + b^2 = c^2$

gdzie $c$ to przeciwprostokątna.

Twierdzenie Talesa $P$

Jeśli ramiona kąta przecinają dwie proste równoległe, to stosunek odcinków na jednym ramieniu jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków na drugim ramieniu:

$\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EF|}$

Więcej w przewodniku po twierdzeniu Talesa.

Okrąg wpisany i opisany $P$

Promień okręgu wpisanego w trójkąt:

$r = \frac{P}{s}$

gdzie $P$ to pole trójkąta, $s$ to połowa obwodu.

Promień okręgu opisanego na trójkącie:

$R = \frac{abc}{4P}$

Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Więcej w przewodniku po kątach w figurach.

Kompletny przewodnik po planimetrii na maturze.

---

Stereometria - objętości i pola powierzchni

Graniastosłup $K$

$V = P_p \cdot H$ $P_c = 2P_p + P_{\text{boczna}}$

Ostrosłup $K$

$V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$

Walec $K$

$V = \pi r^2 H$ $P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H$

Stożek $K$

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H$ $P_c = \pi r^2 + \pi r l$

gdzie $l$ to tworząca stożka, $l = \sqrt{r^2 + H^2}$.

Kula $K$

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ $P = 4\pi r^2$

Kompletny przewodnik po stereometrii na maturze i objętościach brył.

---

Geometria analityczna

Odległość między punktami $K$

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Środek odcinka $P$

$S = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Równanie kierunkowe prostej $P$

$y = ax + b$

Równanie ogólne prostej $P$

$Ax + By + C = 0$

Przejście: $a = -\frac{A}{B}$, $b = -\frac{C}{B}$.

Równanie prostej przez dwa punkty $P$

$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

Odległość punktu od prostej $K$

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Równanie okręgu $P$

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Środek: $S = (a, b)$, promień: $r$.

Wektor $P$

$\vec{AB} = [x_2 - x_1, \ y_2 - y_1]$

Długość wektora:

$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Wektory prostopadłe: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0$

Wektory równoległe: $\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2}$

Kompletny przewodnik po geometrii analitycznej i równaniach prostej.

---

Statystyka

Średnia arytmetyczna $P$

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$

Średnia ważona:

$\bar{x}_w = \frac{x_1 w_1 + x_2 w_2 + \ldots + x_n w_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}$

Mediana $P$

Wartość środkowa po uporządkowaniu danych. Dla $n$ parzystego - średnia dwóch środkowych wartości.

Dominanta (moda) $P$

Wartość występująca najczęściej w zbiorze danych.

Odchylenie standardowe $K$

$\sigma = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}}$

Wariancja $P$

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$

Więcej w przewodniku po statystyce na maturze i artykule o średniej, medianie i dominancie.

---

Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

Silnia $P$

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$ $0! = 1$

Symbol Newtona $K$

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Dwumian Newtona $R$

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Reguła mnożenia $P$

Jeśli pierwsze zdarzenie może zajść na $m$ sposobów, a drugie na $n$ sposobów, to oba zdarzenia mogą zajść na $m \cdot n$ sposobów.

Reguła dodawania $P$

Jeśli zdarzenia się wykluczają, to łączna liczba sposobów to $m + n$.

Permutacja $P$

$P_n = n!$

Wariacja bez powtórzeń $P$

$V^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$

Wariacja z powtórzeniami $P$

$\overline{V}^k_n = n^k$

Kombinacja $P$

$C^k_n = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Prawdopodobieństwo klasyczne $P$

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego $P$

$P(A') = 1 - P(A)$

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń $P$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Dla zdarzeń wykluczających się:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Więcej w przewodniku po kombinatoryce, prawdopodobieństwie i symbolu Newtona.

---

Procenty i matematyka finansowa

Procent z liczby $P$

$p\% \cdot a = \frac{p}{100} \cdot a$

Obliczanie ile procent $P$

$\frac{a}{b} \cdot 100\%$

Podwyżka i obniżka $P$

Podwyżka o $p\%$:

$a_{\text{po}} = a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

Obniżka o $p\%$:

$a_{\text{po}} = a \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$

Procent składany $P$

$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

gdzie $K_0$ to kapitał początkowy, $p$ to oprocentowanie, $n$ to liczba okresów.

Więcej w przewodniku po procentach i artykule o procencie składanym.

---

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Funkcja wykładnicza $P$

$f(x) = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$

Dziedzina: $\mathbb{R}$, zbiór wartości: $(0, +\infty)$.

Dla $a > 1$ - rosnąca. Dla $0 < a < 1$ - malejąca.

Funkcja logarytmiczna $P$

$f(x) = \log_a x \quad (a > 0, a \neq 1)$

Dziedzina: $(0, +\infty)$, zbiór wartości: $\mathbb{R}$.

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna o tej samej podstawie są funkcjami odwrotnymi - ich wykresy są symetryczne względem prostej $y = x$.

Więcej w przewodniku po funkcji wykładniczej i logarytmach.

---

Przekształcenia wykresów funkcji $P$

Mając wykres $y = f(x)$:

Więcej w przewodniku po przekształceniach wykresów.

---

Jak korzystać z tej listy wzorów

1. 1.Wydrukuj tę stronę - miej ją pod ręką podczas nauki
2. 2.Skup się na wzorach z oznaczeniem $P$ - to te, których nie ma na karcie CKE i musisz je znać na pamięć
3. 3.Wzory $K$ powtórz pod kątem zastosowań - na egzaminie masz kartę, ale musisz wiedzieć, kiedy i jak użyć danego wzoru
4. 4.Przećwicz każdą kategorię - kliknij linki do przewodników tematycznych, żeby zobaczyć zadania z rozwiązaniami

Jeśli szukasz strategii na sam egzamin, przeczytaj jak zdać maturę z matematyki w 2027 i pewniaki maturalne 2027.

Powodzenia na maturze!

Następny krok Losuj kolejne zadanie