Przejdź do treści

Matura czerwiec 2012 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Matura z matematyki, termin dodatkowy czerwiec 2012: 34 zadania za 50 punktów, wyraźny nacisk na geometrię, rozkład kategorii i rozwiązania siedmiu wybranych zadań krok po kroku.

Opublikowano: · zaktualizowano · 4 min czytania

Spis treści

O arkuszu - Matura czerwiec 2012

Matura z matematyki z czerwca 2012 roku to termin dodatkowy, przeznaczony dla osób, które z ważnych przyczyn (na przykład choroby) nie mogły przystąpić do egzaminu w maju. Arkusz zawierał 34 zadania za łącznie 50 punktów: 24 zadania zamknięte po 1 punkcie i 10 zadań otwartych. W tym arkuszu widać wyraźny nacisk na geometrię: planimetria i geometria analityczna łącznie dają 14 punktów, a trygonometria i stereometria kolejne 10 punktów.

Rozkład kategorii w arkuszu

KategoriaLiczba zadańPunkty
Planimetria67
Geometria analityczna47
Trygonometria35
Stereometria25
Równania i nierówności34
Ciągi34
Kombinatoryka14
Statystyka23
Potęgi i pierwiastki22
Funkcja kwadratowa22
Pozostałe (liczby rzeczywiste, procenty, wyrażenia algebraiczne, funkcje, funkcja liniowa, prawdopodobieństwo)67

W porównaniu do majowego arkusza 2012, czerwcowy kładzie mniejszy nacisk na algebrę (równania tylko 4 punkty zamiast 11), a więcej na geometrię i trygonometrię.

Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura czerwiec 2012

Poziom trudności

Zadania zamknięte (1 pkt, łącznie 24 punkty): usuwanie niewymierności z mianownika, równanie z wartością bezwzględną, procenty, wybór wykresu funkcji kwadratowej i liniowej, kąty w trójkącie i w okręgu, mediana, wzór okręgu odczytany z rysunku.

Zadania otwarte za 2 punkty (7 zadań, łącznie 14 punktów): nierówność kwadratowa, średnia arytmetyczna, trapez z tangensem kąta ostrego, dowód tożsamości trygonometrycznej, dowód z resztą z dzielenia, wzór ciągu arytmetycznego z sumy SnS_n, wysokość rombu.

Zadania otwarte za 4 punkty (3 zadania, łącznie 12 punktów): spodek wysokości trójkąta w układzie współrzędnych, kombinatoryka (liczby pięciocyfrowe), objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 5 - Funkcja kwadratowa (1 pkt) ↗

Matura czerwiec 2012Zadanie 5Funkcja kwadratowa1 pktOtwarte
Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji y=x2+2x−3y=x^2+2x-3. Wskaż ten rysunek.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Najpierw miejsca zerowe. Dla a=1a=1, b=2b=2, c=−3c=-3:

Δ=22−4⋅1⋅(−3)=16,Δ=4\Delta = 2^2 - 4\cdot 1\cdot(-3) = 16, \qquad \sqrt{\Delta} = 4 x1=−2−42=−3,x2=−2+42=1x_1 = \frac{-2-4}{2} = -3, \qquad x_2 = \frac{-2+4}{2} = 1

Parabola przecina oś OxOx w punktach −3-3 i 11, a ponieważ a=1>0a=1>0, jej ramiona są skierowane w górę. Oba warunki spełnia tylko wykres na rysunku A.

Odpowiedź: A

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja kwadratowa
Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura czerwiec 2012

Zadanie 12 - Geometria analityczna (1 pkt) ↗

Matura czerwiec 2012Zadanie 12Geometria analityczna1 pkt
Punkt OO jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać:
  • A(x−2)2+(y−1)2=9(x-2)^2+(y-1)^2=9
  • B(x−2)2+(y−1)2=3(x-2)^2+(y-1)^2=3
  • C(x+2)2+(y+1)2=9(x+2)^2+(y+1)^2=9
  • D(x+2)2+(y+1)2=3(x+2)^2+(y+1)^2=3

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Okrąg o środku O=(a,b)O=(a,b) i promieniu rr ma równanie

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Z rysunku odczytujemy środek O=(2,1)O=(2,1) i promień r=3r=3 (po kratkach). Po podstawieniu:

(x−2)2+(y−1)2=32=9(x-2)^2+(y-1)^2=3^2=9

Uwaga na pułapkę z odpowiedzi B: po prawej stronie stoi r2r^2, a nie rr.

Odpowiedź: A

(x−2)2+(y−1)2=9(x-2)^2+(y-1)^2=9

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Zadanie 18 - Funkcja liniowa (1 pkt) ↗

Matura czerwiec 2012Zadanie 18Funkcja liniowa1 pktOtwarte
Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej f(x)=ax+bf(x)=ax+b, gdzie a>0a>0 i b<0b\lt 0. Wskaż ten wykres.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Współczynnik a>0a>0 oznacza, że funkcja jest rosnąca. Współczynnik b<0b<0 to rzędna punktu przecięcia z osią OyOy, więc wykres przecina oś OyOy poniżej osi OxOx. Oba warunki naraz spełnia tylko wykres C.

Odpowiedź: C

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja liniowa

Zadanie 23 - Prawdopodobieństwo (1 pkt) ↗

Matura czerwiec 2012Zadanie 23Prawdopodobieństwo1 pkt
Jeżeli AA i BB są zdarzeniami losowymi, B′B' jest zdarzeniem przeciwnym do BB, P(A)=0,3P(A) = 0{,}3, P(B′)=0,4P(B') = 0{,}4 oraz A∩B=∅A\cap B=\emptyset, to P(A∪B)P(A\cup B) jest równe
  • A0,120{,}12
  • B0,180{,}18
  • C0,60{,}6
  • D0,90{,}9

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Z prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego:

P(B)=1−P(B′)=1−0,4=0,6P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0{,}4 = 0{,}6

Zdarzenia AA i BB się wykluczają, więc P(A∩B)=0P(A\cap B)=0 i

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0,3+0,6−0=0,9P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0{,}3 + 0{,}6 - 0 = 0{,}9
Odpowiedź: D

0,90{,}9

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Prawdopodobieństwo

Zadanie 27 - Trygonometria (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura czerwiec 2012Zadanie 27Trygonometria2 pktOtwarte
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 66 i 1010 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 33. Oblicz pole tego trapezu.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Oznaczmy trapez ABCDABCD z dłuższą podstawą ∣AB∣=10|AB|=10, krótszą ∣DC∣=6|DC|=6 i kątem ostrym α\alpha przy wierzchołku BB. Wysokość CECE opuszczona z CC odcina od podstawy ABAB odcinek

∣EB∣=10−6=4|EB| = 10 - 6 = 4

W trójkącie prostokątnym EBCEBC:

tg⁡α=∣CE∣∣EB∣⇒3=h4⇒h=12\operatorname{tg}\alpha = \frac{|CE|}{|EB|} \quad\Rightarrow\quad 3 = \frac{h}{4} \quad\Rightarrow\quad h = 12

Pole trapezu:

P=(6+10)⋅122=96P = \frac{(6+10)\cdot 12}{2} = 96
Odpowiedź:

P=96P = 96

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria

Zadanie 30 - Ciągi (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura czerwiec 2012Zadanie 30Ciągi2 pktOtwarte
Suma Sn=a1+a2+...+anS_n = a_1 + a_2 + ... + a_n początkowych nn wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (an)(a_n) jest określona wzorem Sn=n2−2nS_n = n^2 - 2n. Wyznacz wzór na nn-ty wyraz tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Suma jednego wyrazu to sam pierwszy wyraz:

a1=S1=12−2⋅1=−1a_1 = S_1 = 1^2 - 2\cdot 1 = -1

Z sumy dwóch wyrazów wyznaczamy drugi:

S2=22−2⋅2=0=a1+a2⇒a2=1S_2 = 2^2 - 2\cdot 2 = 0 = a_1 + a_2 \quad\Rightarrow\quad a_2 = 1

Różnica ciągu to r=a2−a1=1−(−1)=2r = a_2 - a_1 = 1 - (-1) = 2, więc

an=a1+(n−1)r=−1+2(n−1)=2n−3a_n = a_1 + (n-1)r = -1 + 2(n-1) = 2n - 3

Sprawdzenie: a3=S3−S2=3−0=3=2⋅3−3a_3 = S_3 - S_2 = 3 - 0 = 3 = 2\cdot 3 - 3.

Odpowiedź:

an=2n−3a_n = 2n - 3

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi

Zadanie 32 - Geometria analityczna (otwarte, 4 pkt) ↗

Matura czerwiec 2012Zadanie 32Geometria analityczna4 pktOtwarte
Punkty A=(2,11),B=(8,23),C=(6,14)A = (2,11), B = (8, 23), C = (6,14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka CC przecina prostą ABAB w punkcie DD. Oblicz współrzędne punktu DD.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Prosta ABAB ma współczynnik kierunkowy

a=23−118−2=126=2a = \frac{23-11}{8-2} = \frac{12}{6} = 2

i przechodzi przez A=(2,11)A=(2,11): 11=2⋅2+b11 = 2\cdot 2 + b, więc b=7b=7 i AB: y=2x+7AB:\ y = 2x + 7.

Wysokość z CC jest prostopadła do ABAB, więc ma współczynnik kierunkowy −12-\frac{1}{2}. Przechodzi przez C=(6,14)C=(6,14):

14=−12⋅6+b⇒b=17,y=−12x+1714 = -\frac{1}{2}\cdot 6 + b \quad\Rightarrow\quad b = 17, \qquad y = -\frac{1}{2}x + 17

Punkt DD to przecięcie obu prostych:

2x+7=−12x+17⇒52x=10⇒x=4,y=2⋅4+7=152x + 7 = -\frac{1}{2}x + 17 \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{2}x = 10 \quad\Rightarrow\quad x = 4, \qquad y = 2\cdot 4 + 7 = 15
Odpowiedź:

D=(4,15)D = (4, 15)

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu

Geometria jest kluczowa: Planimetria (7 pkt) i geometria analityczna (7 pkt) to łącznie 14 punktów - prawie 30% arkusza. W geometrii analitycznej często łączysz wiedzę algebraiczną z geometryczną.

Trygonometria wymaga definicji: W zadaniach z trygonometrii pojawiają się definicje funkcji w trójkącie prostokątnym. Musisz znać wartości dla kątów 30°,45°,60°30°, 45°, 60° oraz wzory na pole z sinusem.

Kombinatoryka to zadanie za 4 punkty: Musisz rozumieć różnicę między permutacjami a kombinacjami oraz stosować regułę mnożenia.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Porównaj z majowym arkuszem 2012. Sprawdź maturę maj 2012, żeby zobaczyć różnicę w stylu. Maj kładł większy nacisk na algebrę, czerwiec na geometrię. Dzięki temu zidentyfikujesz swoje mocne i słabe strony.

Ćwicz trygonometrię na prostych zadaniach. W tym arkuszu zadania trygonometryczne są stosunkowo proste - definicje w trójkącie prostokątnym. Dobry moment, żeby utrwalić podstawy z trygonometrii.

Jeśli potęgi i pierwiastki czy logarytmy to Twoja słabość, znajdź dodatkowe zadania w innych arkuszach. Po opanowaniu tego arkusza przejdź do matury czerwiec 2013 i matury maj 2013. Wszystkie zadania w bazie arkuszy. Powodzenia!

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Prawdziwe zadania z matur CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Rozwiąż ten arkusz sam, zadanie po zadaniu.

Rozwiąż arkusz: matura czerwiec 2012

Arkusz CKE z rozwiązaniami

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Czytaj dalej

Arkusz maturalny

Matura maj 2012 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Matura z matematyki, maj 2012: 34 zadania za 50 punktów z wyraźnym naciskiem na równania i nierówności, rozkład kategorii i rozwiązania pięciu wybranych zadań krok po kroku.

Arkusz maturalny

Matura maj 2011 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Matura z matematyki, maj 2011: 33 zadania za 50 punktów, bardziej zbalansowany rozkład tematów z naciskiem na równania i stereometrię oraz rozwiązania siedmiu wybranych zadań krok po kroku.

Arkusz maturalny

Matura maj 2013 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Kompletne rozwiązania wybranych zadań z matury z matematyki, maj 2013. Analiza arkusza, rozkład kategorii, poziom trudności i rozwiązania krok po kroku z objaśnieniami.

Pliki cookie

Niezbędne pliki cookie utrzymują logowanie i ustawienia. Za Twoją zgodą używamy też analitycznych (PostHog) i reklamowych (Meta, Google Ads), żeby wiedzieć, które kampanie działają. Bez zgody liczymy wizyty anonimowo, bez plików cookie. Wybór zmienisz w każdej chwili. Polityka prywatności