Przejdź do treści

Matura czerwiec 2013 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Matura z matematyki, termin dodatkowy czerwiec 2013: 34 zadania za 50 punktów, nietypowy rozkład z przewagą geometrii analitycznej i stereometrii oraz rozwiązania siedmiu wybranych zadań.

Opublikowano: · zaktualizowano · 6 min czytania

Spis treści

O arkuszu - Matura czerwiec 2013

Matura z matematyki z czerwca 2013 roku to termin dodatkowy, przeznaczony dla osób, które z ważnych przyczyn nie mogły przystąpić do egzaminu w maju. Arkusz składa się z 34 zadań za maksymalnie 50 punktów. Ten egzamin jest szczególnie interesujący ze względu na nietypowy rozkład kategorii - geometria analityczna i stereometria łącznie dają 14 punktów, więcej niż w każdym majowym arkuszu z lat 2010-2014 (od 8 do 13 punktów). Dodatkowo aż 7 punktów przypisano do kategorii liczby rzeczywiste, co również jest rzadkością. Jeśli szukasz wszystkich arkuszy z lat 2010-2025, zobacz kompletną bazę zadań maturalnych.

Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura czerwiec 2013

Rozkład kategorii w arkuszu

KategoriaLiczba zadańPunkty
Geometria analityczna48
Liczby rzeczywiste27
Stereometria36
Funkcje55
Trygonometria45
Ciągi45
Równania i nierówności23
Logarytmy22
Planimetria22
Kombinatoryka12
Pozostałe (po 1 pkt)55

Największą wagę mają zagadnienia z geometrii - zarówno analitycznej, jak i przestrzennej. Jeśli masz problemy z tymi tematami, warto rozpocząć pracę od systematycznego powtórzenia wzorów.

Poziom trudności

Zadania zamknięte (1 pkt, 26 zadań, łącznie 26 punktów): Jednopunktowce z podstawowych kategorii - proste obliczenia na potęgach i logarytmach, wzory ogólne ciągów, wartości funkcji trygonometrycznych, odczyt zbioru wartości i znaku funkcji z wykresu, objętość stożka, rzut monetą.

Zadania otwarte za 2 punkty (5 zadań, łącznie 10 punktów): Równanie wielomianowe trzeciego stopnia, wartość wyrażenia trygonometrycznego, liczby czterocyfrowe o zadanej własności, dowód podzielności, iloraz ciągu geometrycznego.

Zadania otwarte za 4 i 5 punktów (3 zadania, łącznie 14 punktów): Objętość graniastosłupa o podstawie prostokątnej (zadanie 32, 4 pkt), zadanie tekstowe o wspólnej opłacie za internet (zadanie 33, 5 pkt) i równanie okręgu stycznego do podstawy trapezu (zadanie 34, 5 pkt).

Więcej strategii na rozwiązywanie zadań otwartych znajdziesz w artykule o zadaniach otwartych na maturze.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 7 - Trygonometria (1 pkt) ↗

Matura czerwiec 2013Zadanie 7Trygonometria1 pkt
Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α=13\sin \alpha =\frac{1}{3}. Wartość wyrażenia 1+tg⁡α⋅cos⁡α1+\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha jest równa
  • A43\frac{4}{3}
  • B119\frac{11}{9}
  • C179\frac{17}{9}
  • D113\frac{11}{3}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Z definicji tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, więc cosinus się skraca:

1+tg⁡α⋅cos⁡α=1+sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡α=1+sin⁡α=1+13=431 + \operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha = 1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha = 1 + \sin\alpha = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

Nie trzeba wcale liczyć cos⁡α\cos\alpha z jedynki trygonometrycznej.

Odpowiedź: A

43\frac{4}{3}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria
Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura czerwiec 2013

Zadanie 11 - Kąt wpisany i środkowy (1 pkt) ↗

Matura czerwiec 2013Zadanie 11Geometria analityczna1 pkt
Punkt OO jest środkiem okręgu. Kąt α\alpha, zaznaczony na rysunku, ma miarę
  • A50∘50^\circ
  • B45∘45^\circ
  • C25∘25^\circ
  • D20∘20^\circ

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Najpierw kąt środkowy przy punkcie OO. Jest on trzecim kątem trójkąta, którego dwa pozostałe kąty mają 40∘40^\circ i 90∘90^\circ:

β=180∘−40∘−90∘=50∘\beta = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ

Kąt α\alpha jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy β\beta, więc ma połowę jego miary:

α=50∘:2=25∘\alpha = 50^\circ : 2 = 25^\circ
Odpowiedź: C

25∘25^\circ

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Zadanie 15 - Stereometria (1 pkt) ↗

Matura czerwiec 2013Zadanie 15Stereometria1 pkt
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 1212. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa
  • A12212\sqrt{2}
  • B828\sqrt{2}
  • C626\sqrt{2}
  • D323\sqrt{2}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Sześcian ma 66 ścian o polu a2a^2:

6a2=12⇒a2=2⇒a=26a^2 = 12 \quad\Rightarrow\quad a^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad a = \sqrt{2}

Krawędzi jest 1212, więc ich suma to

12a=12212a = 12\sqrt{2}
Odpowiedź: A

12212\sqrt{2}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Zadanie 18 - Geometria analityczna (1 pkt) ↗

Matura czerwiec 2013Zadanie 18Geometria analityczna1 pkt
Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie
  • Ax−2y−4=0x-2y-4=0
  • Bx+2y+4=0x+2y+4=0
  • Cx−2y+4=0x-2y+4=0
  • Dx+2y−4=0x+2y-4=0

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Z wykresu odczytujemy punkty przecięcia z osiami: prosta przecina oś OyOy w punkcie (0,2)(0, 2), a oś OxOx w punkcie (4,0)(4, 0). Stąd b=2b = 2 i

0=a⋅4+2⇒a=−12,y=−12x+20 = a\cdot 4 + 2 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{1}{2}, \qquad y = -\frac{1}{2}x + 2

Odpowiedzi są zapisane w postaci ogólnej, więc przenosimy wszystko na jedną stronę i mnożymy przez 22:

12x+y−2=0/⋅2⇒x+2y−4=0\frac{1}{2}x + y - 2 = 0 \quad\Big/\cdot 2 \quad\Rightarrow\quad x + 2y - 4 = 0

Sprawdzenie: punkt (4,0)(4, 0) daje 4+0−4=04 + 0 - 4 = 0, punkt (0,2)(0, 2) daje 0+4−4=00 + 4 - 4 = 0.

Odpowiedź: D

x+2y−4=0x+2y-4=0

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Zadanie 24 - Prawdopodobieństwo (1 pkt) ↗

Matura czerwiec 2013Zadanie 24Prawdopodobieństwo1 pkt
Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł jest równe
  • A14\frac{1}{4}
  • B38\frac{3}{8}
  • C12\frac{1}{2}
  • D34\frac{3}{4}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Wyniki pierwszych dwóch rzutów nie mają wpływu na trzeci. Można to też policzyć wprost: wszystkich wyników trzech rzutów jest 23=82^3 = 8, a orła w trzecim rzucie mają 2⋅2⋅1=42\cdot 2\cdot 1 = 4 z nich:

P=48=12P = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
Odpowiedź: C

12\frac{1}{2}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Prawdopodobieństwo

Zadanie 29 - Kombinatoryka (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura czerwiec 2013Zadanie 29Kombinatoryka2 pktOtwarte
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 33 większa od cyfry setek.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Para (cyfra setek, cyfra jedności) może wyglądać tak: (0,3)(0,3), (1,4)(1,4), (2,5)(2,5), (3,6)(3,6), (4,7)(4,7), (5,8)(5,8), (6,9)(6,9). To 77 możliwości, bo cyfra setek większa od 66 dałaby cyfrę jedności większą od 99.

Cyfra tysięcy: 99 możliwości (od 11 do 99, bez zera). Cyfra dziesiątek: 1010 możliwości.

Z reguły mnożenia:

9⋅10⋅7=6309\cdot 10\cdot 7 = 630
Odpowiedź:

630630

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Kombinatoryka

Zadanie 32 - Stereometria (otwarte, 4 pkt) ↗

Matura czerwiec 2013Zadanie 32Stereometria4 pktOtwarte
Podstawą graniastosłupa ABCDEFGHABCDEFGH jest prostokąt ABCDABCD (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość 33. Przekątna prostokąta ABCDABCD tworzy z jego dłuższym bokiem kąt 30∘30^\circ. Przekątna HBHB graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60∘60^\circ. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

W trójkącie ABDABD kąt przy dłuższym boku ABAB ma 30∘30^\circ, a krótszy bok ∣AD∣=3|AD| = 3 leży naprzeciw tego kąta. Dłuższy bok a=∣AB∣a = |AB|:

tg⁡30∘=3a⇒33=3a⇒a=93=33\operatorname{tg}30^\circ = \frac{3}{a} \quad\Rightarrow\quad \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{a} \quad\Rightarrow\quad a = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}

Przekątna podstawy:

∣DB∣=32+(33)2=9+27=6|DB| = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = 6

(Przekątna leży naprzeciw kąta prostego trójkąta 30∘,60∘,90∘30^\circ, 60^\circ, 90^\circ, więc jest dwa razy dłuższa od boku 33.)

Kąt między przekątną HBHB a podstawą to kąt HBDHBD. W trójkącie prostokątnym DBHDBH:

tg⁡60∘=H∣DB∣⇒3=H6⇒H=63\operatorname{tg}60^\circ = \frac{H}{|DB|} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{3} = \frac{H}{6} \quad\Rightarrow\quad H = 6\sqrt{3}

Objętość:

V=3⋅33⋅63=93⋅63=54⋅3=162V = 3\cdot 3\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3} = 54\cdot 3 = 162
Odpowiedź:

V=162V = 162

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu

Przewaga geometrii. Aż 14 punktów to zadania z geometrii analitycznej i stereometrii. Ważne: wzór na odległość punktu od prostej, równania prostych równoległych i punkt przecięcia dwóch prostych, objętości brył, twierdzenie Pitagorasa w przestrzeni.

Liczby rzeczywiste - nietypowo dużo punktów. W naszym podziale do tej kategorii trafiły dwa zadania za 7 punktów: dowód, że (1+20132)(1+20134)(1+2013^2)(1+2013^4) dzieli sumę 1+2013+…+201371+2013+\ldots+2013^7 (zadanie 30, 2 pkt), i zadanie tekstowe o wspólnej opłacie za internet (zadanie 33, 5 pkt). W dowodzie pomaga grupowanie wyrazów i wyłączanie wspólnego czynnika, w zadaniu tekstowym ułożenie równania z liczbą osób jako niewiadomą.

Funkcje - dużo zadań, mało punktów. Pięć zadań to zaledwie 5 punktów - same jednopunktowce. Łatwe punkty do zdobycia, jeśli znasz definicje i podstawowe własności.

Ciągi - przewidywalne schematy. Wzór ogólny ciągu arytmetycznego i geometrycznego: pierwszy wyraz z a20a_{20} i różnicy (zadanie 20), iloraz z pierwszego i czwartego wyrazu (zadanie 21), iloraz z wzoru an=7⋅3n+1a_n=7\cdot 3^{n+1} (zadanie 31).

Trygonometria na jedynce i definicjach. Zadania 6, 7 i 28 sprowadzają się do jedynki trygonometrycznej albo definicji tangensa, a zadanie 19 to najmniejszy kąt trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 11 i 3\sqrt{3}. Powtórkę znajdziesz w dziale trygonometria.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Strategia 1: Trening kategorii po kolei. Zacznij od geometrii analitycznej, stereometrii, liczb rzeczywistych. Przerób każdą kategorię w jednym podejściu, żeby zobaczyć powtarzające się schematy.

Strategia 2: Symulacja egzaminu. Wydrukuj arkusz i rozwiąż go w 170 minut, bez telefonu. Po zakończeniu sprawdź wynik - to da Ci realny obraz Twojego poziomu.

Strategia 3: Nauka z błędów. Wypisz błędy i określ przyczynę: rachunkowa, koncepcyjna, luka w wiedzy. Wróć do materiału teoretycznego i rozwiąż zadanie ponownie po jakimś czasie.

Jeśli ten arkusz poszedł Ci gładko, sprawdź się na trudniejszych: matura maj 2013 i matura maj 2014. Jeśli był trudny, cofnij się do matury maj 2012 i matury czerwiec 2012. Wszystkie zadania znajdziesz w bazie arkuszy maturalnych. Powodzenia!

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Prawdziwe zadania z matur CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Rozwiąż ten arkusz sam, zadanie po zadaniu.

Rozwiąż arkusz: matura czerwiec 2013

Arkusz CKE z rozwiązaniami

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Czytaj dalej

Arkusz maturalny

Matura maj 2013 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Kompletne rozwiązania wybranych zadań z matury z matematyki, maj 2013. Analiza arkusza, rozkład kategorii, poziom trudności i rozwiązania krok po kroku z objaśnieniami.

Arkusz maturalny

Matura czerwiec 2012 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Matura z matematyki, termin dodatkowy czerwiec 2012: 34 zadania za 50 punktów, wyraźny nacisk na geometrię, rozkład kategorii i rozwiązania siedmiu wybranych zadań krok po kroku.

Arkusz maturalny

Matura maj 2014 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Rozwiązania wybranych zadań z matury z matematyki, maj 2014 (stara formuła egzaminu). Analiza arkusza, rozkład kategorii, poziom trudności i rozwiązania krok po kroku.

Pliki cookie

Niezbędne pliki cookie utrzymują logowanie i ustawienia. Za Twoją zgodą używamy też analitycznych (PostHog) i reklamowych (Meta, Google Ads), żeby wiedzieć, które kampanie działają. Bez zgody liczymy wizyty anonimowo, bez plików cookie. Wybór zmienisz w każdej chwili. Polityka prywatności