Matura czerwiec 2013 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura czerwiec 2013

Matura z matematyki z czerwca 2013 roku to sesja dodatkowa, która odbywała się w ostatnim roku przed reformą formuły egzaminu. Arkusz składa się z 34 zadań za maksymalnie 50 punktów. Ten egzamin jest szczególnie interesujący ze względu na nietypowy rozkład kategorii - geometria analityczna i stereometria łącznie dają 14 punktów, co jest znacznie powyżej średniej. Dodatkowo aż 7 punktów przypisano do kategorii liczby rzeczywiste, co również jest rzadkością. Zdawalność tej sesji wyniosła około 68%, co oznacza, że wystarczyło zdobyć 17 punktów (34%) na ocenę dopuszczającą. Jeśli szukasz wszystkich arkuszy z lat 2010-2025, zobacz kompletną bazę zadań maturalnych.

Rozkład kategorii w arkuszu

Największą wagę mają zagadnienia z geometrii - zarówno analitycznej, jak i przestrzennej. Jeśli masz problemy z tymi tematami, warto rozpocząć pracę od systematycznego powtórzenia wzorów.

Poziom trudności

Zadania łatwe (1-2 pkt, ok. 24-26 punktów): Zamknięte jednopunktowce z podstawowych kategorii - proste obliczenia na ciągach, funkcjach, wartościach trygonometrycznych, przekształceniach wykresów.

Zadania średnie (2-3 pkt, ok. 16-18 punktów): Dwupunktowe otwarte z geometrii analitycznej, zadania tekstowe na procenty i prawdopodobieństwo, trudniejsze równania.

Zadania trudne (3-4 pkt, ok. 8-10 punktów): Otwarte z geometrii przestrzennej, zaawansowane problemy z ciągów, dowodzenia nierówności z liczbami rzeczywistymi.

Więcej strategii na rozwiązywanie zadań otwartych znajdziesz w artykule o zadaniach otwartych na maturze.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 7 - Trygonometria (1 pkt) ↗

Treść: Wartość wyrażenia $\sin^2(30°) + \cos^2(60°)$ jest równa:

Rozwiązanie:

$$\sin(30°) = \frac{1}{2}, \quad \cos(60°) = \frac{1}{2}$$ $$\sin^2(30°) + \cos^2(60°) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

Uwaga: to NIE jest jedynka trygonometryczna, bo kąty są różne (30° i 60°)! To częsta pułapka.

Odpowiedź: $\frac{1}{2}$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 11 - Geometria analityczna (2 pkt) ↗

Treść: Dane są punkty $A = (2, 5)$ i $B = (8, -3)$. Oblicz współrzędne punktu $C$ leżącego na prostej $AB$, dla którego $|AC| = 2|CB|$.

Rozwiązanie:

Punkt $C$ dzieli odcinek $AB$ w stosunku $2:1$ od $A$. Wzór na podział odcinka:

$$x_C = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 8}{2+1} = \frac{18}{3} = 6$$ $$y_C = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot (-3)}{2+1} = \frac{-1}{3}$$

Odpowiedź: $C = (6, -\frac{1}{3})$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 15 - Planimetria (1 pkt) ↗

Treść: W trójkącie równobocznym o boku 6 cm poprowadzono wysokość. Oblicz pole powstałego trójkąta prostokątnego.

Rozwiązanie:

Wysokość trójkąta równobocznego: $h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ cm.

Wysokość dzieli trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych 3 cm i $3\sqrt{3}$ cm.

$$P = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ cm}^2$$

Odpowiedź: $\frac{9\sqrt{3}}{2}$ cm²

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 18 - Liczby rzeczywiste (4 pkt) ↗

Treść: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b, c$ prawdziwa jest nierówność $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$.

Rozwiązanie:

Rozważmy wyrażenie $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$. Pomnóżmy przez 2:

$$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$$

Ponieważ każdy kwadrat jest nieujemny:

$$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$$

Zatem:

$$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}{2} \geq 0$$

Co jest równoważne z $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$.

Więcej o dowodzeniu nierówności znajdziesz w artykule o liczbach rzeczywistych na maturze.

Odpowiedź: Dowód przeprowadzony metodą przekształcenia do sumy kwadratów.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 24 - Stereometria (3 pkt) ↗

Treść: Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 cm i 12 cm. Przekątna ściany bocznej zawierającej dłuższą przyprostokątną tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz objętość.

Rozwiązanie:

Przekątna ściany bocznej i jej rzut na podstawę (krawędź 12 cm) tworzą kąt 60°:

$$\tan(60°) = \frac{h}{12} \quad \Rightarrow \quad h = 12\sqrt{3} \text{ cm}$$

Pole podstawy:

$$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \text{ cm}^2$$

Objętość:

$$V = 30 \cdot 12\sqrt{3} = 360\sqrt{3} \text{ cm}^3$$

Odpowiedź: $360\sqrt{3}$ cm³

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 29 - Ciągi (2 pkt) ↗

Treść: Dany jest ciąg geometryczny o ilorazie $q = \frac{1}{3}$ i $a_1 = 81$. Ile wyrazów tego ciągu jest nie mniejszych od 1?

Rozwiązanie:

$$a_n = 81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \geq 1$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \geq \frac{1}{81} = \left(\frac{1}{3}\right)^4$$

Ponieważ $\frac{1}{3} < 1$, funkcja jest malejąca, więc:

$$n - 1 \leq 4 \quad \Rightarrow \quad n \leq 5$$

Sprawdzenie: $a_5 = 81 \cdot \frac{1}{81} = 1$, $a_6 = \frac{1}{3} < 1$.

Odpowiedź: 5 wyrazów

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 32 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Treść: Wartość wyrażenia $\log_2(8) + \log_2\left(\frac{1}{4}\right)$ jest równa:

Rozwiązanie:

$$\log_2(8) = \log_2(2^3) = 3$$ $$\log_2\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2(2^{-2}) = -2$$ $$3 + (-2) = 1$$

Alternatywnie: $\log_2(8 \cdot \frac{1}{4}) = \log_2(2) = 1$. Więcej o logarytmach na maturze.

Odpowiedź: 1

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu

Przewaga geometrii. Aż 14 punktów to zadania z geometrii analitycznej i stereometrii. Ważne: wzór na odległość punktu od prostej, równania prostych prostopadłych, objętości brył, twierdzenie Pitagorasa w przestrzeni.

Liczby rzeczywiste - nietypowo dużo punktów. 7 punktów to dowodzenia nierówności, zadania z wartością bezwzględną, interpretacja przedziałów. Musisz opanować techniki przekształcania do sumy kwadratów.

Funkcje - dużo zadań, mało punktów. Pięć zadań to zaledwie 5 punktów - same jednopunktowce. Łatwe punkty do zdobycia, jeśli znasz definicje i podstawowe własności.

Ciągi - przewidywalne schematy. Wzory na sumę n wyrazów, wzór ogólny, nierówności z ciągami geometrycznymi. Pamiętaj, że przy $q < 1$ funkcja wykładnicza jest malejąca - nierówność się odwraca.

Trygonometria bez tożsamości. Głównie wartości dla kątów szczególnych i proste zastosowania w trójkątach z trygonometrii.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Strategia 1: Trening kategorii po kolei. Zacznij od geometrii analitycznej, stereometrii, liczb rzeczywistych. Przerobij każdą kategorię w jednym podejściu, żeby zobaczyć powtarzające się schematy.

Strategia 2: Symulacja egzaminu. Wydrukuj arkusz i rozwiąż go w 170 minut, bez telefonu. Po zakończeniu sprawdź wynik - to da Ci realny obraz Twojego poziomu.

Strategia 3: Nauka z błędów. Wypisz błędy i określ przyczynę: rachunkowa, koncepcyjna, luka w wiedzy. Wróć do materiału teoretycznego i rozwiąż zadanie ponownie za kilka dni.

Jeśli ten arkusz poszedł Ci gładko, sprawdź się na trudniejszych: matura maj 2013 i matura maj 2014. Jeśli był trudny, cofnij się do matury maj 2012 i matury czerwiec 2012. Wszystkie zadania znajdziesz w bazie arkuszy maturalnych. Powodzenia!