Podstawą graniastosłupa ABCDEFGH jest prostokąt ABCD (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość 3. Przekątna prostokąta ABCD tworzy z jego dłuższym bokiem kąt 30°. Przekątna HB graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60°. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Zaznaczmy sobie na rysunku kąty 30° i 60° oraz odpowiednie długości boków omówione w treści zadania:

Wbrew pozorom już podczas zaznaczania odpowiednich długości można było popełnić spory błąd. Skąd wiemy, że to akurat boki AD oraz analogicznie BC są tymi krótszymi i akurat one mają długość 3? Treść zadania nie sugeruje nam tego wprost, ale wynika to chociażby z własności trójkątów 30°, 60°, 90°, a takim jest trójkąt ABD. W takich trójkątach dłuższą przyprostokątną jest ten bok, który znajduje się przy kącie 30° i stąd też wiemy, że dłuższymi krawędziami są AB oraz analogicznie CD, a krótszymi są AD oraz BC.

Do obliczenia objętości będziemy potrzebowali znać długości boków prostokąta oraz wysokość całego graniastosłupa, zatem wyznaczmy po kolei każdą z wartości.

Krok 2. Obliczenie miary dłuższego boku prostokąta.

Do obliczenia długości, którą oznaczyliśmy sobie jako a skorzystamy z trójkąta ABD. Użyjemy tutaj albo własności trójkąta 30°, 60°, 90°, albo funkcji tangensa:

tg30°=3/a √(3)/3=3/a

Mnożąc na krzyż otrzymamy:

√(3)a=9 a=9/√(3)=9 · √(3)/(√(3) · √(3))=9√(3)/3=3√(3)

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej podstawy.

Ponownie spoglądamy na trójkąt ABD. Do obliczenia długości przekątnej DB skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa i z miary boku prostokąta, którą obliczyliśmy przed chwilą:

3²+(3√(3))²=|DB|² 9+9 · 3=|DB|² 9+27=|DB|² |DB|²=36 |DB|=6

Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.

Tym razem interesuje nas trójkąt DBH. Odcinek DH, który oznaczyliśmy sobie jako H wyliczymy z funkcji tangensa (właśnie po to liczyliśmy przed chwilą długość przekątnej DB):

tg60°=H/6 √(3)=H/6 H=6√(3)

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.

Znamy wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczeń objętości:

V=P_p · H V=3 · 3√(3) · 6√(3) V=9√(3) · 6√(3) V=54 · 3 V=162