Skala Richtera: wzór z logarytmem i zadanie maturalne o trzęsieniu ziemi

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. W zadaniu maturalnym siłę opisuje wzór $R=\log\frac{A}{A_0}$, gdzie $A$ to amplituda trzęsienia w centymetrach, a $A_0=10^{-4}$ cm to stała amplituda wzorcowa. Z definicji logarytmu wynika, że amplituda to $A=A_0\cdot 10^{R}$, więc trzęsienie silniejsze o jeden stopień ma amplitudę dziesięć razy większą.

Na maturze z matematyki skala Richtera pojawiła się jako zadanie z treścią w arkuszu z maja 2016: trzeba było obliczyć amplitudę trzęsienia o sile $6{,}2$ i porównać ją ze $100$ cm. Wzór stał w treści, więc zadanie sprawdzało jedną umiejętność: zamianę równania z logarytmem na równanie z potęgą. Poniżej masz wzory, pełne rozwiązanie tamtego zadania, cztery dodatkowe przykłady i listę pomyłek, które kosztują punkty.

Skąd w skali Richtera bierze się logarytm

Amplitudy trzęsień ziemi różnią się od siebie nie o kilka procent, tylko wielokrotnie: jedno trzęsienie może mieć amplitudę tysiąc razy większą od drugiego. Gdyby siłę mierzyć samą amplitudą w centymetrach, liczby skakałyby od ułamków tysięcznych do setek i tysięcy. Logarytm dziesiętny ściska taki zakres do kilku wygodnych liczb, bo liczy nie samą wielkość, tylko wykładnik potęgi dziesięciu.

Przypomnij sobie definicję: $\log x$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść $10$, żeby dostać $x$. Stąd $\log 10=1$, $\log 100=2$, $\log 1000=3$, a $\log 10^{6}=6$. Gdy liczba rośnie dziesięć razy, jej logarytm rośnie tylko o jeden. Ten jeden fakt tłumaczy całą skalę Richtera. Pełne omówienie definicji i własności logarytmu znajdziesz w dziale Logarytmy, a rachunek na konkretnych liczbach we wpisie jak obliczyć logarytm krok po kroku.

We wzorze $R=\log\frac{A}{A_0}$ logarytm liczy się z ilorazu: amplitudy trzęsienia podzielonej przez amplitudę wzorcową. Iloraz mówi, ile razy trzęsienie jest silniejsze od wzorca, a logarytm zamienia tę krotność na stopień skali. Gdy amplituda jest równa wzorcowej, iloraz to $1$, a $\log 1=0$, więc wzorzec ma siłę zero. Gdy amplituda jest dziesięć razy większa od wzorcowej, siła wynosi $1$. Gdy milion razy większa, siła wynosi $6$.

Dlaczego w ogóle iloraz, a nie sama amplituda? Bo logarytm liczy się z liczby, a nie z wielkości w centymetrach. Po podzieleniu amplitudy przez wzorzec jednostki się skracają i zostaje czysta liczba, która mówi „ile razy”. Amplituda wzorcowa ustala więc punkt zero skali: to ona decyduje, jakie trzęsienie ma siłę zero. Gdyby wzorzec był inny, wszystkie siły przesunęłyby się o tę samą liczbę stopni, ale różnice między trzęsieniami zostałyby takie same. Dlatego w zadaniach z porównaniem dwóch trzęsień wzorzec w ogóle znika z rachunku.

Tabela pokazuje tę zależność dla kilku całkowitych stopni. Amplitudę w ostatniej kolumnie liczysz ze wzoru $A=10^{-4}\cdot 10^{R}=10^{R-4}$ cm.

Zwróć uwagę na wiersz z siłą $6$: amplituda wynosi dokładnie $100$ cm. To będzie punkt odniesienia w zadaniu maturalnym, bo pytanie z 2016 roku dotyczyło właśnie granicy $100$ cm.

Wzory

Pierwszy wzór dostajesz w treści zadania. Pozostałe wyprowadzasz z niego w jednej lub dwóch linijkach, więc nie musisz ich pamiętać: wystarczy umieć je odtworzyć. Wzór na stosunek amplitud powstaje na przykład tak: zapisujesz $A_1=A_0\cdot 10^{R_1}$ i $A_2=A_0\cdot 10^{R_2}$, dzielisz jedno przez drugie, skracasz $A_0$ i odejmujesz wykładniki przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie. Ostatni wzór, definicję logarytmu, musisz mieć w głowie, bo bez niej nie ruszysz żadnego z tych zadań. Własności logarytmów, z których korzystamy niżej (logarytm ilorazu i logarytm iloczynu), zebrane są we wpisie logarytmy na maturze: wzory i właściwości.

Jak zamienić siłę trzęsienia na amplitudę

Zadania o skali Richtera prawie zawsze idą w jedną z dwóch stron: znasz siłę i liczysz amplitudę albo znasz amplitudę i liczysz siłę. Pierwszy kierunek jest trudniejszy, bo trzeba pozbyć się logarytmu.

Od siły do amplitudy. Masz równanie $R=\log\frac{A}{A_0}$ i znane $R$. Z definicji logarytmu dziesiętnego zapisujesz $\frac{A}{A_0}=10^{R}$. Mnożysz obie strony przez $A_0$ i dostajesz $A=A_0\cdot 10^{R}$. Przy wzorcu $A_0=10^{-4}$ cm mnożenie potęg o tej samej podstawie daje $A=10^{-4}\cdot 10^{R}=10^{R-4}$ cm. Na przykład dla $R=5{,}5$ amplituda to $10^{1{,}5}$ cm, czyli $10\sqrt{10}$ cm, około $31{,}6$ cm.

Od amplitudy do siły. Tu logarytm liczysz wprost. Podstawiasz amplitudę i wzorzec do ilorazu, upraszczasz go do potęgi dziesięciu i odczytujesz wykładnik. Dla $A=0{,}1$ cm masz $\frac{0{,}1}{10^{-4}}=\frac{10^{-1}}{10^{-4}}=10^{3}$, więc $R=3$. Można też skorzystać z logarytmu ilorazu: $R=\log A-\log A_0=\log A+4$. Dla $A=0{,}1$ cm to $-1+4=3$, ten sam wynik.

Wykładnik niecałkowity, jak $2{,}2$ czy $1{,}5$, to potęga o wykładniku wymiernym: $10^{1{,}5}=10^{\frac32}=\sqrt{10^{3}}$, a $10^{2{,}2}=10^{\frac{11}{5}}=\sqrt[5]{10^{11}}$. Jak zamieniać takie potęgi na pierwiastki i odwrotnie, pokazuje wpis o potęgach o wykładniku wymiernym i ujemnym. W zadaniu maturalnym zwykle nie musisz tej potęgi liczyć dokładnie: wystarczy porównać ją z inną potęgą dziesięciu.

Jak oszacować amplitudę bez kalkulatora naukowego

Na egzaminie z matematyki wolno korzystać z kalkulatora prostego, linijki, cyrkla i zestawu wybranych wzorów. Do rozstrzygnięcia, czy amplituda jest większa, czy mniejsza od danej liczby, kalkulator w ogóle nie jest potrzebny. Gdy jednak chcesz wiedzieć, ile mniej więcej wynosi $10^{2{,}2}$, da się to oszacować samym mnożeniem.

Rozbij potęgę na część całkowitą i ułamkową: $10^{2{,}2}=10^{2}\cdot 10^{0{,}2}=100\cdot\sqrt[5]{10}$. Cała trudność siedzi w liczbie $\sqrt[5]{10}$, czyli w takiej liczbie, która podniesiona do piątej potęgi daje $10$. Sprawdzasz dwie próby. Liczba $1{,}5$ do piątej potęgi to około $7{,}59$, czyli za mało. Liczba $1{,}6$ do piątej potęgi to około $10{,}49$, czyli za dużo. Szukany pierwiastek leży więc między $1{,}5$ a $1{,}6$, a amplituda między $150$ cm a $160$ cm.

Ten sam trik działa dla każdej siły. Część całkowita wykładnika ustala rząd wielkości wyniku, czyli potęgę dziesięciu, przez którą mnożysz, a część ułamkowa daje mnożnik od $1$ do $10$. Przy sile $5{,}5$ część ułamkowa to $0{,}5$, więc mnożnik to $\sqrt{10}$, czyli trochę ponad $3$. Przy sile $6{,}9$ mnożnik $10^{0{,}9}$ jest bliski $8$, bo $10^{0{,}9}=\frac{10}{10^{0{,}1}}$, a $10^{0{,}1}$ to niewiele ponad $1{,}25$.

Z tego wynika prosta reguła kontrolna: jeśli wyliczona amplituda ma inny rząd wielkości, niż wskazuje część całkowita wykładnika, to gdzieś zgubiłeś znak albo potęgę. Przy sile $6{,}2$ i wzorcu $10^{-4}$ cm wynik musi mieć trzy cyfry przed przecinkiem, więc $15{,}8$ cm albo $1580$ cm od razu zdradzają pomyłkę.

Jak zapisać rozwiązanie zadania z 2016 roku

Zadanie 31 z maja 2016 było zadaniem otwartym za dwa punkty, a jego polecenie ma dwie części: „oblicz amplitudę” i „rozstrzygnij, czy jest większa, czy mniejsza od 100 cm”. Rozwiązanie musi odpowiadać na obie. Pozostałe zadania z tego arkusza, krok po kroku, znajdziesz w omówieniu matury z maja 2016 z rozwiązaniami. Sama liczba $10^{2{,}2}$ bez porównania zostawia drugą część polecenia bez odpowiedzi, a samo zdanie „amplituda jest większa” bez rachunku nie pokazuje, skąd ten wniosek.

Dobry zapis mieści się w czterech linijkach z Przykładu 1: podstawienie do wzoru, zamiana logarytmu na potęgę, wyznaczenie amplitudy i porównanie dwóch potęg dziesięciu z uzasadnieniem. Uzasadnienie porównania to jedno zdanie: funkcja wykładnicza o podstawie $10$ jest rosnąca, więc większy wykładnik daje większą potęgę. Przybliżenie $158$ cm możesz dopisać, ale nie zastępuje ono porównania wykładników, bo bez kalkulatora naukowego trudno je policzyć dokładnie.

Druga droga prowadzi przez sam logarytm i też jest poprawna. Zamiast liczyć amplitudę i porównywać ją ze $100$ cm, policz siłę trzęsienia o amplitudzie dokładnie $100$ cm: $R=\log\frac{100}{10^{-4}}=\log 10^{6}=6$. Trzęsienie w Tajlandii miało siłę $6{,}2>6$, a większa siła oznacza większą amplitudę, bo logarytm dziesiętny jest funkcją rosnącą. Tę drogę wybierz, gdy łatwiej ci myśleć o stopniach skali niż o centymetrach. Pamiętaj tylko, że polecenie każe też obliczyć amplitudę, więc wynik $10^{2{,}2}$ cm i tak musi się pojawić.

Teraz ty

Spróbuj sam zadania z bazy CKE, w którym zamieniasz logarytm odczytany z wykresu na liczbę bakterii, dokładnie tak jak siłę trzęsienia na amplitudę.

Inne zadania maturalne z logarytmem w treści

Skala Richtera to jeden z kilku przykładów, w których logarytm opisuje zjawisko z fizyki, chemii albo biologii. Wszystkie takie zadania mają ten sam szkielet: treść podaje wzór, a ty podstawiasz dane i przechodzisz między logarytmem a potęgą. Nie potrzebujesz wiedzy z innego przedmiotu, bo każdy potrzebny wzór i każda stała stoi w treści.

Wykres logarytmu zamiast wykresu wielkości. W zadaniu o bakteriach z sekcji wyżej oś pionowa pokazuje $\log K(t)$. Gdy liczba bakterii rośnie dziesięć razy, wykres podnosi się tylko o jeden, więc wzrost wykładniczy wygląda na nim jak linia prosta. Każdy odczyt z takiego wykresu zamieniasz na liczbę tą samą definicją: $\log K=2$ to $K=100$, a $\log K=2{,}5$ to $K=10^{2{,}5}=100\sqrt{10}$, około $316$. Najczęstszy błąd w takim zadaniu to wzięcie odczytu z osi za samą liczbę bakterii. Wykres pokazuje wykładnik, więc odczyt $5$ to nie pięć bakterii, tylko sto tysięcy. Zanim zaznaczysz odpowiedź, sprawdź, czy nie wybierasz liczby przepisanej wprost z osi albo z czasu $t$. Jak wygląda sama funkcja logarytmiczna i dlaczego jest rosnąca dla podstawy większej od jeden, opisuje wpis o funkcji logarytmicznej: wykres, dziedzina i monotoniczność.

Rozpad promieniotwórczy. W bazie jest zadanie o datowaniu radiowęglowym, w którym liczba jąder izotopu maleje według wzoru $N(t)=N_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{T}}$, gdzie $T$ to czas połowicznego rozpadu. Tu ruch jest odwrotny niż w skali Richtera: wzór podaje potęgę, a pytanie o czas wymaga wykładnika, czyli logarytmu. Najpierw przećwicz ten schemat na mniejszych liczbach w przykładzie niżej, a potem wróć do zadania z bazy.

Jak użyć wzoru z logarytmem, którego nie znasz

W zadaniu o datowaniu radiowęglowym z bazy ułamek jest inny niż w Przykładzie 5, ale pomysł identyczny: zapisz go jako potęgę $\frac12$, odczytaj wykładnik i pomnóż go przez czas połowicznego rozpadu. Zaokrąglenie, o które prosi treść, robisz dopiero na samym końcu. Gdyby ułamek nie dawał się zapisać jako całkowita potęga $\frac12$, na przykład $\frac{1}{10}$, wykładnik byłby logarytmem $\log_{\frac12}\frac{1}{10}$, czyli liczbą niecałkowitą między $3$ a $4$, bo $\frac18>\frac1{10}>\frac1{16}$. Takie oszacowanie wystarcza, żeby sprawdzić, czy wynik ma sens.

Zdarza się też, że treść poda wzór, którego nigdy nie widziałeś, na przykład $L=10\log\frac{I}{I_0}$. Nie musisz wiedzieć, co oznaczają litery, żeby go użyć. Dla $L=60$ dzielisz obie strony przez $10$ i dostajesz $\log\frac{I}{I_0}=6$, czyli $\frac{I}{I_0}=10^{6}$. To ten sam ruch co w Przykładzie 1, tylko z dodatkowym współczynnikiem przed logarytmem. Równania, w których niewiadoma siedzi pod logarytmem, ćwiczysz szerzej we wpisie o tym, jak rozwiązać równanie logarytmiczne, a te z niewiadomą w wykładniku we wpisie jak rozwiązać równanie wykładnicze.

Najczęstsze błędy w zadaniach o skali Richtera

Co musisz umieć

Najczęstsze pytania