Jak wyrazić logarytm za pomocą a i b - zamiana podstawy logarytmu w zadaniach z matury rozszerzonej

Żeby wyrazić logarytm za pomocą danych liczb $a$ i $b$, sprowadzasz wszystkie logarytmy do jednej wspólnej podstawy wzorem na zamianę podstawy $\log_x y = \frac{\log_c y}{\log_c x}$, a potem rozkładasz liczby pod logarytmami na czynniki pierwsze i korzystasz z logarytmu iloczynu i potęgi. Wspólną podstawą jest zwykle podstawa logarytmu danego w treści. Na przykład gdy $a = \log_2 3$, to $\log_6 12 = \frac{\log_2 12}{\log_2 6} = \frac{2 + a}{1 + a}$. Ten typ zadania regularnie wraca na maturze rozszerzonej, zarówno jako zadanie zamknięte, jak i jako dowód typu „wykaż, że”.

W arkuszach CKE wyglądało to tak. W maju 2021 (zadanie 6) dany był $\log_2 18 = c$ i trzeba było wykazać wzór na $\log_3 4$. W czerwcu 2022 (zadanie 1) z danych $\log_5 2 = a$ i $\log_5 3 = b$ trzeba było wybrać wartość $\log_{18} 40$. W maju 2024 (zadanie 5 w formule 2023) dane logarytmy miały różne podstawy: $\log_5 4 = a$ i $\log_4 3 = b$. Same własności logarytmów, czyli logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, omawia wpis jak obliczyć logarytm krok po kroku. Tutaj jest jeden typ zadania: przepisać logarytm na dane litery.

Wzór na zamianę podstawy i skąd się bierze

Wzór na zamianę podstawy mówi, że logarytm przy dowolnej podstawie $a$ jest ilorazem dwóch logarytmów przy nowej, wspólnej podstawie $c$: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. Działa dla dodatnich $a$, $b$, $c$, przy czym $a \ne 1$ i $c \ne 1$. Nową podstawę wybierasz sam, więc wybierasz taką, w której masz dane.

Wyprowadzenie zajmuje dwie linijki. Niech $x = \log_a b$. Z definicji logarytmu $a^x = b$. Logarytmujesz obie strony przy podstawie $c$ i korzystasz z logarytmu potęgi: $x \cdot \log_c a = \log_c b$. Dzielisz przez $\log_c a$, które jest różne od zera, bo $a \ne 1$, i dostajesz wzór.

Z tego samego wzoru wynikają trzy skróty, które oszczędzają czas:

• •odwrotność: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$, czyli zamiana miejscami podstawy i liczby odwraca logarytm;
• •łańcuch: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$, czyli środkowa liczba się skraca;
• •podstawa w postaci potęgi: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, na przykład $\log_{\sqrt{2}} x = 2\log_2 x$.

Jak wyrazić logarytm za pomocą a i b: schemat w czterech krokach

Każde zadanie tego typu rozwiązujesz tym samym schematem. Zmienia się tylko to, ile pracy wymaga krok drugi.

1. 1.Wybierz wspólną podstawę. Weź podstawę logarytmu danego w treści. Gdy dane mają różne podstawy, przejdź na jedną z nich i resztę przelicz łańcuchem.
2. 2.Przygotuj klocki. Ustal, logarytmy jakich liczb pierwszych są potrzebne, i wyraź je przez dane. Jeśli dany jest logarytm liczby złożonej, na przykład $\log_3 12$, rozbij go i wylicz z niego logarytm liczby pierwszej.
3. 3.Zamień podstawę szukanego logarytmu. Zapisz go jako iloraz dwóch logarytmów przy wspólnej podstawie.
4. 4.Rozłóż i podstaw. Rozłóż liczby na czynniki pierwsze, rozbij logarytmy na sumy i wstaw dane.

W zadaniu typu „wykaż” robisz dokładnie to samo, tylko zaczynasz od jednej strony równości i przekształcasz ją, aż dojdziesz do drugiej. Ogólne zasady zapisu dowodu zebrane są we wpisie o dowodach na maturze.

Wzory

Wszystkie wzory działają dla dodatnich liczb logarytmowanych i dodatnich podstaw różnych od $1$. Wykładnik $k$ musi być różny od zera, a $m$ i $n$ mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi, także ujemnymi.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej kolejne zadania z logarytmów z arkuszy rozszerzonych: dowody typu „wykaż, że”, zadania, w których wynik wyraża się przez dane litery, i obliczenia, w których logarytmy o różnych podstawach upraszczają się po zamianie podstawy. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie logarytmy, a zadania z poziomu podstawowego w bazie zadań CKE z logarytmów. Jeśli potrzebujesz powtórki z definicji i własności, zacznij od wpisu logarytmy na maturze: wzory i własności.

• Matura rozsz. maj 20213 pkt
  Niech $\log_2 18 = c$. Wykaż, że $\log_3 4 = \frac{4}{c-1}$.
• Matura rozsz. cze 20213 pkt
  Niech $\log_{2} 9 = c$. Wykaż, że $\log_{3} 54 = \frac{3c+2}{c}$.
• Matura rozsz. pokazowa mar 20223 pkt
  Dane są liczby $a = \log_2 3$ oraz $b = \log_3 7$.
  
  Wyraź $\log_4 49$ za pomocą liczb $a$ oraz $b$.
  
  Zapisz obliczenia.
• Matura rozsz. cze 20153 pkt
  Niech $a = \log_{12} 2$. Wykaż, że $\log_6 64 = \frac{6a}{1 - a}$.
• Matura rozsz. cze 20221 pkt
  Wiadomo, że $\log_5 2 = a$ i $\log_5 3 = b$. Wtedy liczba $\log_{18} 40$ jest równa
• Matura rozsz. cze 2023 (formuła 2023)2 pkt
  Dane są liczby$a = 4^{\log_2 45} \quad \text{oraz} \quad b = \frac{\log_3 2023}{\log_9 2023}$Oblicz $a - b$.

Następny krok Wszystkie działy matury rozszerzonej

Najczęstsze pytania