Ctg 30 stopni i ctg 60 stopni: ile wynoszą i skąd się biorą

Ctg 30° wynosi $\sqrt{3}$, a ctg 60° wynosi $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Cotangens to cosinus podzielony przez sinus, czyli odwrotność tangensa, więc $\operatorname{ctg} 30^\circ = \frac{1}{\operatorname{tg} 30^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}$. Najczęstszy błąd to zamiana tych dwóch liczb: $\frac{\sqrt{3}}{3}$ to tangens 30°, a nie cotangens.

W skrócie

• Ctg 30° = $\sqrt{3}$, ctg 45° = 1, ctg 60° = $\frac{\sqrt{3}}{3}$, czyli wartości tangensa w odwrotnej kolejności.
• Dla kąta ostrego $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$, więc zawsze $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$.
• Ctg 30° = tg 60° i ctg 60° = tg 30°, bo $\operatorname{ctg}\alpha = \operatorname{tg}(90^\circ - \alpha)$.
• W zadaniach maturalnych cotangens często stoi w przebraniu jako $\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$.
• Im większy kąt ostry, tym mniejszy cotangens: $\sqrt{3} > 1 > \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Czym jest cotangens kąta ostrego

Cotangens to czwarta funkcja trygonometryczna, obok sinusa, cosinusa i tangensa. Całą trygonometrię z zadaniami maturalnymi znajdziesz w dziale Trygonometria w bazie zadań, a tutaj skupiamy się na jednej liczbie, której uczniowie szukają najczęściej: ctg 30°.

Weź trójkąt prostokątny i jeden z jego kątów ostrych $\alpha$. Przyprostokątna, która dotyka kąta $\alpha$, to przyprostokątna przyległa. Przyprostokątna po drugiej stronie trójkąta to przyprostokątna przeciwległa. Tangens dzieli przeciwległą przez przyległą. Cotangens robi dokładnie odwrotnie: dzieli przyległą przez przeciwległą.

Jeśli przyprostokątne mają długości $a$ (przeciwległa do $\alpha$) i $b$ (przyległa do $\alpha$), to $\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}$, a $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{b}{a}$. Ten sam ułamek, tylko odwrócony. Stąd bierze się najważniejsza własność cotangensa: jest odwrotnością tangensa.

Definicje sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym omawiamy szerzej we wpisie o tym, jak działają sinus, cosinus i tangens na maturze. Jeśli te trzy funkcje masz opanowane, cotangens nie wymaga od ciebie żadnej nowej wiedzy. Wystarczy jeden ułamek odwrócić.

Wzory

Wszystkie pięć wzorów mówi to samo z różnych stron. Pierwszy to definicja. Drugi dostajesz, gdy dzielisz cosinus przez sinus: $\frac{b/c}{a/c} = \frac{b}{a}$, bo przeciwprostokątna $c$ się skraca. Trzeci i czwarty wynikają z tego, że tangens to $\frac{a}{b}$. Piąty pochodzi z tego, że drugi kąt ostry trójkąta ma miarę $90^\circ - \alpha$, a dla niego przyległa i przeciwległa zamieniają się miejscami.

Ile wynosi ctg 30 stopni i skąd to wiadomo

Ctg 30° wynosi $\sqrt{3}$. Nie musisz tego pamiętać na ślepo, bo da się to wyprowadzić w pół minuty z trójkąta równobocznego.

Krok pierwszy: trójkąt równoboczny. Narysuj trójkąt równoboczny o boku 2. Każdy jego kąt ma 60°. Poprowadź wysokość z jednego wierzchołka. Wysokość dzieli trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne.

Krok drugi: boki małego trójkąta. Każdy z małych trójkątów ma przeciwprostokątną 2 (bok trójkąta równobocznego), krótszą przyprostokątną 1 (połowa podstawy) i dłuższą przyprostokątną równą wysokości. Z twierdzenia Pitagorasa: $h^2 = 2^2 - 1^2 = 3$, więc $h = \sqrt{3}$.

Krok trzeci: kąty małego trójkąta. Kąt przy podstawie został bez zmian, czyli 60°. Wysokość przecięła kąt przy wierzchołku na pół, więc przy górnym wierzchołku jest 30°. Kąt prosty jest przy spodku wysokości.

Krok czwarty: odczyt cotangensa. Przy kącie 30° przyległa przyprostokątna to wysokość $\sqrt{3}$, a przeciwległa to odcinek o długości 1. Dzielisz przyległą przez przeciwległą:

$\operatorname{ctg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

Ten sam wynik dostaniesz dwiema innymi drogami. Z sinusa i cosinusa: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ i $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, więc $\operatorname{ctg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$. Z tangensa: $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, więc $\operatorname{ctg} 30^\circ = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$. Trzy drogi, jeden wynik. Jeśli któraś z nich daje ci coś innego, gdzieś odwróciłeś ułamek.

Przybliżenie dziesiętne też warto mieć w głowie: $\sqrt{3} \approx 1{,}73$. Na maturze z matematyki wolno korzystać z kalkulatora prostego, a taki kalkulator nie ma klawiszy sin, cos ani tg. Wartości dla kątów 30°, 45° i 60° musisz więc znać albo umieć szybko wyprowadzić, a przybliżenie przydaje się tylko do kontroli wyniku. Cotangens kąta mniejszego niż 45° jest zawsze większy od 1, więc wynik typu 0,58 dla ctg 30° od razu powinien zapalić ci czerwoną lampkę.

Ile wynosi ctg 60 stopni

Ctg 60° wynosi $\frac{\sqrt{3}}{3}$, czyli w przybliżeniu 0,58. Bierzesz ten sam mały trójkąt z poprzedniej sekcji i patrzysz tym razem z kąta 60°.

Przy kącie 60° przyległa przyprostokątna to krótki odcinek o długości 1 (połowa podstawy trójkąta równobocznego), a przeciwległa to wysokość $\sqrt{3}$. Dzielisz przyległą przez przeciwległą:

$\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ostatni krok to usunięcie niewymierności z mianownika: mnożysz licznik i mianownik przez $\sqrt{3}$. Postać $\frac{1}{\sqrt{3}}$ jest matematycznie poprawna, ale w odpowiedziach zamkniętych prawie zawsze zobaczysz $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Musisz rozpoznać, że to ta sama liczba.

Sprawdzenie przez sinus i cosinus: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, więc $\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Zgadza się.

Zwróć uwagę na ciekawą rzecz: ctg 60° ma tę samą wartość co tg 30°. To nie przypadek, tylko wzór na kąt dopełniający, o którym niżej.

Tabela wartości ctg dla kątów 30, 45 i 60 stopni

Ctg 45° wynosi 1, bo trójkąt prostokątny z kątem 45° jest równoramienny: obie przyprostokątne są równe, więc ich iloraz to 1. Oto pełna tabela dla trzech kątów szczególnych:

Popatrz na dwa ostatnie wiersze. Wiersz cotangensa to wiersz tangensa czytany od prawej do lewej. Tak samo wiersz cosinusa to wiersz sinusa czytany od końca. Jeśli zapamiętasz sinus i tangens, resztę tabeli odtworzysz w kilka sekund.

Skąd się bierze cała tabela i jak ją wyprowadzić z dwóch trójkątów, pokazujemy krok po kroku we wpisie o tym, skąd się biorą wartości funkcji trygonometrycznych. Tam znajdziesz też trójkąt prostokątny równoramienny, z którego wychodzą wartości dla 45°.

Dwie wartości brzegowe warto znać dla porządku: ctg 90° = 0, bo $\cos 90^\circ = 0$, a ctg 0° nie istnieje, bo $\sin 0^\circ = 0$ i dzielenie przez zero nie ma sensu. Na maturze pojawiają się rzadko, ale chronią przed głupim błędem w zadaniu z kątem granicznym.

Przykład 1: wartość wyrażenia z ctg 30° i ctg 60°

Trygonometria

Treść: Wartość wyrażenia $\operatorname{ctg} 30^\circ \cdot \sin 30^\circ + \operatorname{ctg} 60^\circ \cdot \cos 30^\circ$ jest równa:

• A$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B$\sqrt{3}$
• C$\frac{\sqrt{3}+3}{6}$
• D$1$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Podstaw wartości z tabeli

   $\operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

   $\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. Krok 2

   Policz oba iloczyny

   Pierwszy to $\frac{\sqrt{3}}{2}$. W drugim $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, więc dostajesz $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

   $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Odpowiedź: A

Odpowiedź C to pułapka dla kogoś, kto wziął ctg 30° jako $\frac{\sqrt{3}}{3}$: wtedy pierwszy iloczyn wychodzi $\frac{\sqrt{3}}{6}$, a suma $\frac{\sqrt{3}+3}{6}$.

Teraz ty

Spróbuj sam zadania tego samego typu z prawdziwego arkusza CKE: wartość wyrażenia z funkcjami kątów szczególnych.

Matura sierpień 2016Zadanie 16Trygonometria1 pkt

Wartość wyrażenia $(\operatorname{tg} 60^\circ +\operatorname{tg} 45^\circ )^2-\sin 60^\circ$ jest równa

• A. $2-\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• B. $2+\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C. $4-\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D. $4+\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie wczytuje się po otwarciu. Otwórz w aplikacji.

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria

Związek ctg 30° z tg 60° i ctg 60° z tg 30°

Ctg 30° = tg 60°, bo kąty 30° i 60° sumują się do 90°. W trójkącie prostokątnym dwa kąty ostre zawsze się dopełniają do kąta prostego. Przyprostokątna przyległa do jednego kąta jest przeciwległa do drugiego. Dlatego iloraz „przyległa przez przeciwległą” dla kąta 30° jest tym samym ilorazem co „przeciwległa przez przyległą” dla kąta 60°.

Zapisane wzorem:

$\operatorname{ctg}\alpha = \operatorname{tg}(90^\circ - \alpha)$

Podstaw $\alpha = 30^\circ$: $\operatorname{ctg} 30^\circ = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$. Podstaw $\alpha = 60^\circ$: $\operatorname{ctg} 60^\circ = \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Podstaw $\alpha = 45^\circ$: $\operatorname{ctg} 45^\circ = \operatorname{tg} 45^\circ = 1$.

Ta zależność przydaje się w dwóch sytuacjach. Pierwsza: zapomniałeś wartości cotangensa, ale pamiętasz tangens. Wtedy liczysz tangens kąta dopełniającego. Druga: zadanie podaje tangens jednego kąta ostrego trójkąta prostokątnego i pyta o drugi kąt. Wtedy tangens drugiego kąta to cotangens pierwszego, czyli odwrotność danej liczby. Jeśli w trójkącie prostokątnym $\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{5}$, to tangens drugiego kąta ostrego wynosi $\frac{5}{2}$, bez żadnego liczenia boków.

Podobnie działa sinus i cosinus: $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$. Gdy w zadaniu widzisz kąty, które sumują się do 90°, prawie zawsze chodzi o jedną z tych dwóch zależności.

Ctg 30° to √3 czy √3/3? Typowe błędy

Ctg 30° to $\sqrt{3}$. Liczba $\frac{\sqrt{3}}{3}$ to tangens 30° albo cotangens 60°. Pomyłka bierze się z tego, że obie liczby wyglądają podobnie i stoją w tej samej tabeli tuż obok siebie.

Jak zapamiętać wartości cotangensa

Najprostszy sposób: nie zapamiętuj cotangensa osobno. Zapamiętaj tangens i odwracaj. Tangens dla 30°, 45°, 60° to $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 1, $\sqrt{3}$. Cotangens to te same trzy liczby w odwrotnej kolejności: $\sqrt{3}$, 1, $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Drugi sposób to reguła monotoniczności. Gdy kąt ostry rośnie od 0° do 90°, tangens rośnie od 0 w górę bez ograniczenia, a cotangens maleje od bardzo dużych wartości do 0. Kąt 30° jest mały, więc ma duży cotangens ($\sqrt{3} \approx 1{,}73$). Kąt 60° jest duży, więc ma mały cotangens (około 0,58). Pośrodku, przy 45°, oba są równe 1.

Trzeci sposób to iloczyn równy 1. Tangens i cotangens tego samego kąta zawsze mnożą się do jedynki: $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{3} = 1$. Jeśli masz wątpliwość, czy dobrze pamiętasz parę, pomnóż ją. Iloczyn różny od 1 oznacza błąd.

Czwarty sposób to rysunek. Trójkąt o bokach 1, $\sqrt{3}$ i 2 narysujesz na marginesie w kilka sekund, a wszystkie jego własności zebraliśmy we wpisie o zależnościach boków w trójkącie 30-60-90. Najkrótszy bok leży naprzeciw najmniejszego kąta, czyli 30°. Najdłuższy bok to przeciwprostokątna. Z takiego szkicu odczytasz wszystkie osiem wartości dla 30° i 60°.

Jeśli chcesz sprawdzić się z sinusem i cosinusem przy znanym tangensie (to zwykle kolejny krok po cotangensie), przeczytaj, jak obliczyć sinus i cosinus, znając tangens. Tamta metoda działa identycznie, gdy zamiast tangensa dostajesz cotangens: wystarczy go najpierw odwrócić.

Jak obliczyć ctg kąta, gdy znasz sinus albo cosinus

Nie każdy kąt w zadaniu to 30°, 45° albo 60°. Często dostajesz sinus lub cosinus kąta ostrego i masz policzyć cotangens. Schemat jest zawsze ten sam: brakującą funkcję wyliczasz z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, a potem dzielisz cosinus przez sinus.

Weźmy $\sin\alpha = \frac{1}{4}$ dla kąta ostrego. Najpierw cosinus: $\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$, a ponieważ kąt jest ostry, cosinus jest dodatni, więc $\cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$. Teraz cotangens:

$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sqrt{15}/4}{1/4} = \sqrt{15}$

Czwórki w mianownikach się skróciły i został sam pierwiastek. Tak jest zawsze, gdy sinus i cosinus mają wspólny mianownik, więc nie musisz go przepisywać.

Gdy znasz tangens, jest jeszcze prościej: odwracasz ułamek. Dla $\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{3}$ od razu masz $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{3}{2}$. Dla $\operatorname{tg}\alpha = \sqrt{5}$ dostajesz $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Gdy znasz cotangens, a pytają o sinus, możesz narysować trójkąt prostokątny. Dla $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{3}{2}$ przyległa przyprostokątna ma długość 3, przeciwległa 2, a przeciwprostokątna $\sqrt{9+4} = \sqrt{13}$. Stąd $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$. Długości boków nie muszą być prawdziwe, ważne są tylko proporcje, bo funkcje trygonometryczne zależą od kąta, a nie od wielkości trójkąta.

Ctg 30° i ctg 60° w zadaniach z geometrii

Cotangens jest najwygodniejszy wtedy, gdy znasz wysokość, a szukasz odcinka leżącego poziomo. Wtedy poziomy odcinek to wysokość pomnożona przez cotangens kąta przy podstawie. Nie musisz dzielić przez tangens ani usuwać niewymierności z mianownika, bo mnożenie przez $\sqrt{3}$ albo przez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ robisz od razu.

Trapez równoramienny ma kąt ostry 30° i wysokość 4. Rzut ramienia na dłuższą podstawę, czyli odcinek między spodkiem wysokości a wierzchołkiem kąta ostrego, ma długość $4 \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ = 4\sqrt{3}$. Dłuższa podstawa jest więc dłuższa od krótszej o $8\sqrt{3}$, bo takie odcinki są po obu stronach. Tak samo zaczyna się każde zadanie na pole trapezu z kątem przy podstawie.

Stożek ma wysokość 6, a tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Promień podstawy to $6 \cdot \operatorname{ctg} 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. Ten sam schemat działa w ostrosłupach, gdy kąt nachylenia krawędzi bocznej albo ściany bocznej do podstawy wynosi 30° lub 60°.

W obu przypadkach kluczowy jest rysunek: zaznacz kąt, wysokość i szukany odcinek, a potem nazwij, która przyprostokątna jest przyległa, a która przeciwległa. Gdy szukany odcinek przylega do kąta, a wysokość leży naprzeciw niego, sięgasz po cotangens.

Ctg kąta rozwartego: 120° i 150°

Dla kątów rozwartych korzystasz z tego, że $\operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha$. Wynika to wprost z definicji: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$, a $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, więc iloraz zmienia znak.

Stąd $\operatorname{ctg} 150^\circ = -\operatorname{ctg} 30^\circ = -\sqrt{3}$ oraz $\operatorname{ctg} 120^\circ = -\operatorname{ctg} 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Wartość bezwzględna zostaje ta sama co dla kąta ostrego, zmienia się tylko znak. Cotangens kąta rozwartego jest ujemny, tak samo jak tangens i cosinus, bo w drugiej ćwiartce układu współrzędnych $x < 0$, a $y > 0$.

Pełną listę takich zależności znajdziesz we wpisie o wzorach redukcyjnych z tabelą i zadaniami, a definicje funkcji przez współrzędne punktu na ramieniu kąta omawiamy przy funkcjach trygonometrycznych kąta rozwartego.

Cotangens w przebraniu: 1/tg α w zadaniach CKE

W arkuszach CKE z bazy zadań cotangens rzadko stoi pod własną nazwą. Zamiast tego widzisz wyrażenie $\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$, czyli dokładnie cotangens. Najczęstszy motyw to suma $\operatorname{tg}\alpha + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$. Jest jeden trik, który rozwiązuje wszystkie takie zadania:

$\operatorname{tg}\alpha + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$

W liczniku stoi jedynka trygonometryczna, którą omawiamy we wpisie o jedynce trygonometrycznej z dowodem i zadaniami. Suma tangensa i cotangensa to po prostu odwrotność iloczynu sinusa i cosinusa. Zobacz to na zadaniu 29 z arkusza z sierpnia 2015:

Matura sierpień 2015Zadanie 29Trygonometria2 pktOtwarte

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia równość $\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria

Krok 1: Zamień tangens i jego odwrotność na sinus i cosinus. Ze wzoru wyżej lewa strona równości to $\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{7}{2}$

Krok 2: Odwróć obie strony. Skoro odwrotności są równe, to same liczby też.

$\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{2}{7}$

Odpowiedź: $\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{2}{7}$.

To samo narzędzie działa w drugą stronę. W zadaniu 30 z arkusza z czerwca 2018 znasz sumę sinusa i cosinusa, a liczysz sumę tangensa i jego odwrotności. Najpierw podnosisz daną równość do kwadratu, żeby dostać iloczyn $\sin\alpha\cos\alpha$, a potem używasz wzoru na $\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Matura czerwiec 2018Zadanie 30Trygonometria2 pktOtwarte

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }$.

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria

Krok 1: Podnieś równość do kwadratu. $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = (\sqrt{2})^2 = 2$

Krok 2: Wylicz iloczyn. $2\sin\alpha\cos\alpha = 1$, więc $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}$.

Krok 3: Użyj wzoru na sumę tangensa i cotangensa.

$\operatorname{tg}\alpha + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

Odpowiedź: $2$. Dla porządku: warunek spełnia tylko $\alpha = 45^\circ$, a wtedy $\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{ctg} 45^\circ = 1 + 1 = 2$.

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Te zadania z arkuszy maturalnych sprawdzą, czy wartości funkcji kątów 30°, 45° i 60° masz już w małym palcu, także wtedy, gdy cotangens schowano pod $\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$.

• Matura maj 20121 pkt
  Liczba $\operatorname{tg} 30^\circ -\sin 30^\circ$ jest równa
• Matura cze 20151 pkt
  Wartość wyrażenia $\sin 120^\circ-\cos 30^\circ$ jest równa
• Matura sie 20251 pkt
  Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $\sin 30^\circ\cdot\cos 60^\circ+\sin 60^\circ\cdot\cos 30^\circ$ jest równa
• Matura prób. sty 20131 pkt
  Wyrażenie $\frac{1-\sin^{2} \alpha }{\frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha }}$, gdzie $\alpha$ jest kątem ostrym, można zapisać w postaci

Następny krok Losuj zadanie z działu Trygonometria

Najczęstsze pytania