Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla n ≥ 1. Wykaż, że ciąg (b_n), określony dla n ≥ 1 wzorem ogólnym b_n=2a_(n+2)+4a_(n+4) jest arytmetyczny.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że ciąg (b_n) jest arytmetyczny
Aby wykazać, że ciąg (b_n) jest arytmetyczny, trzeba udowodnić, że różnica b_(n+1) - b_n jest stała (niezależna od n).
## Krok 1: Zapisuje się wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Ponieważ (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, to: a_n = a₁ + (n-1)r gdzie r jest różnicą ciągu.
## Krok 2: Wyraża się wyrazy ciągu (b_n)
b_n = 2a_(n+2) + 4a_(n+4)
Podstawia się wzór ogólny: b_n = 2[a₁ + (n+1)r] + 4[a₁ + (n+3)r]
## Krok 3: Upraszcza się wyrażenie na b_n
b_n = 2a₁ + 2(n+1)r + 4a₁ + 4(n+3)r
b_n = 6a₁ + 2(n+1)r + 4(n+3)r
b_n = 6a₁ + (2n + 2)r + (4n + 12)r
b_n = 6a₁ + 6nr + 14r
b_n = 6a₁ + 14r + 6nr
## Krok 4: Oblicza się b_(n+1)
b_(n+1) = 6a₁ + 14r + 6(n+1)r
b_(n+1) = 6a₁ + 14r + 6nr + 6r
b_(n+1) = 6a₁ + 14r + 6nr + 6r
## Krok 5: Oblicza się różnicę b_(n+1) - b_n
b_(n+1) - b_n = (6a₁ + 14r + 6nr + 6r) - (6a₁ + 14r + 6nr)
b_(n+1) - b_n = 6r
## Wniosek
Różnica b_(n+1) - b_n = 6r jest stała (niezależna od n), co oznacza, że ciąg (b_n) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej 6r.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.