Dany jest ciąg geometryczny (a_n) o wszystkich wyrazach różnych od zera, określony dla n ≥ 1. Wykaż, że ciąg (b_n), określony dla n ≥ 1 wzorem ogólnym b_n=a_n · (2a_(n+2))², jest geometryczny.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że ciąg (b_n) jest geometryczny
Aby wykazać, że ciąg (b_n) jest geometryczny, trzeba udowodnić, że iloraz b_(n+1)/b_n jest stały (niezależny od n).
## Krok 1: Zapisuje się wzór ogólny ciągu geometrycznego
Ciąg (a_n) jest geometryczny, więc: a_n = a₁ · q^(n-1) gdzie q ≠ 0 (iloraz ciągu).
## Krok 2: Wyznacza się potrzebne wyrazy
a_n = a₁ · q^(n-1) a_(n+1) = a₁ · q^n a_(n+2) = a₁ · q^(n+1) a_(n+3) = a₁ · q^(n+2)
## Krok 3: Zapisuje się wzór na b_n
b_n = a_n · (2a_(n+2))² = a_n · 4a_(n+2)²
Podstawia się: b_n = a₁ · q^(n-1) · 4 · (a₁ · q^(n+1))² b_n = a₁ · q^(n-1) · 4 · a₁² · q^(2(n+1)) b_n = 4a₁³ · q^(n-1) · q^(2n+2) b_n = 4a₁³ · q^(3n+1)
## Krok 4: Zapisuje się wzór na b_(n+1)
b_(n+1) = 4a₁³ · q^(3(n+1)+1) = 4a₁³ · q^(3n+4)
## Krok 5: Oblicza się iloraz b_(n+1)/b_n
b_(n+1)/b_n = 4a₁³ · q^(3n+4)/(4a₁³ · q^(3n+1)) = q^(3n+4)/q^(3n+1) = q^((3n+4)-(3n+1)) = q³
## Wniosek
Iloraz b_(n+1)/b_n = q³ jest stały (niezależny od n), co oznacza, że ciąg (b_n) jest geometryczny o ilorazie q³.
Uwaga: Ponieważ q ≠ 0 (wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są różne od zera), to również q³ ≠ 0, więc (b_n) jest rzeczywiście ciągiem geometrycznym.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.