W ciągu geometrycznym (a_n), w którym a₁=1, znane są wartości dwóch wyrazów: a_k=16 i a_(k+2)=32, gdzie k jest pewną liczbą całkowitą dodatnią. Wyznacz wyraz a₁₀.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 16√(2) lub -16√(2)
Zapiszmy wzór ogólny na wyraz ciągu geometrycznego: a_n = a₁ · q^(n-1)
gdzie q to iloraz ciągu.
Krok 1: Wykorzystanie danych o wyrazach a_k i a_(k+2)
Z warunków zadania: a_k = a₁ · q^(k-1) = 1 · q^(k-1) = 16 a_(k+2) = a₁ · q^(k+1) = 1 · q^(k+1) = 32
Krok 2: Znalezienie q²
Podzielmy drugie równanie przez pierwsze: a_(k+2)/a_k = q^(k+1)/q^(k-1) = q²
q² = 32/16 = 2
Krok 3: Znalezienie q
q = √(2) lub q = -√(2)
Krok 4: Znalezienie k dla każdego przypadku
Przypadek 1: q = √(2)
Z równania q^(k-1) = 16: (√(2))^(k-1) = 16 2^((k-1)/2) = 2⁴ (k-1)/2 = 4 k = 9
Przypadek 2: q = -√(2)
Z równania q^(k-1) = 16: (-√(2))^(k-1) = 16
Ponieważ 16 > 0, to k-1 musi być parzyste. Wtedy: (√(2))^(k-1) = 16 k = 9 (jak wyżej)
Krok 5: Obliczenie a₁₀
Dla q = √(2): a₁₀ = a₁ · q⁹ = 1 · (√(2))⁹ = (√(2))⁹ = 2^(9/2) = 2⁴ · 2^(1/2) = 16√(2)
Dla q = -√(2): a₁₀ = a₁ · q⁹ = 1 · (-√(2))⁹ = -(√(2))⁹ = -16√(2)
Weryfikacja: - Dla q = √(2): a₉ = (√(2))⁸ = 16 ✓ oraz a₁₁ = (√(2))¹⁰ = 32 ✓ - Dla q = -√(2): a₉ = (-√(2))⁸ = 16 ✓ oraz a₁₁ = (-√(2))¹⁰ = 32 ✓
Odpowiedź: a₁₀ = 16√(2) lub a₁₀ = -16√(2)
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.