W ciągu geometrycznym (a_n) o różnych i niezerowych wyrazach różnica między wyrazami piątym i trzecim jest trzy razy większa niż różnica między wyrazami czwartym i trzecim. Oblicz iloraz ciągu (a_n).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 2
Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu jako a₁, a iloraz jako q.
Krok 1: Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego
W ciągu geometrycznym: - a₃ = a₁ · q² - a₄ = a₁ · q³ - a₅ = a₁ · q⁴
Krok 2: Zapisanie różnic między wyrazami
Różnica między wyrazami piątym i trzecim: a₅ - a₃ = a₁ q⁴ - a₁ q² = a₁ q²(q² - 1)
Różnica między wyrazami czwartym i trzecim: a₄ - a₃ = a₁ q³ - a₁ q² = a₁ q²(q - 1)
Krok 3: Wykorzystanie warunku z zadania
Według treści zadania: a₅ - a₃ = 3(a₄ - a₃)
Podstawiamy obliczone różnice: a₁ q²(q² - 1) = 3 · a₁ q²(q - 1)
Krok 4: Uproszczenie równania
Ponieważ a₁ ≠ 0 i wyrazy są różne (więc q ≠ 0 i q ≠ 1), możemy podzielić obie strony przez a₁ q²: q² - 1 = 3(q - 1)
Rozkładamy lewą stronę: (q - 1)(q + 1) = 3(q - 1)
Krok 5: Rozwiązanie równania
Dzielimy obie strony przez (q - 1), co jest możliwe, bo q ≠ 1 (wyrazy są różne): q + 1 = 3
q = 2
Sprawdzenie: Dla q = 2 wyrazy są różne i niezerowe, warunek jest spełniony.
Odpowiedź: Iloraz ciągu wynosi q = 2
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.