Dana jest funkcja wykładnicza f(x)=2^x oraz ciąg o wyrazie ogólnym a_n=f(3n), dla n ≥ 1. Wykaż, że ciąg (a_n) jest geometryczny i oblicz iloraz tego ciągu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Ciąg jest geometryczny, iloraz q=8
Musimy wykazać, że ciąg jest geometryczny i obliczyć jego iloraz.
## Krok 1: Wyznaczenie wzoru na a_n
Mamy f(x) = 2^x oraz a_n = f(3n).
Podstawiając: a_n = 2^(3n)
## Krok 2: Wyznaczenie wzoru na a_(n+1)
a_(n+1) = 2^(3(n+1)) = 2^(3n+3)
## Krok 3: Obliczenie ilorazu a_(n+1)/a_n
a_(n+1)/a_n = 2^(3n+3)/2^(3n)
Korzystając z własności potęg a^m/a^n = a^(m-n):
a_(n+1)/a_n = 2^(3n+3-3n) = 2³ = 8
## Krok 4: Uzasadnienie, że ciąg jest geometryczny
Ciąg (a_n) jest geometryczny, ponieważ: a_(n+1)/a_n = 8 = const
dla wszystkich n ≥ 1.
Iloraz kolejnych wyrazów ciągu jest stały i nie zależy od n, co jest definicją ciągu geometrycznego.
## Odpowiedź
Ciąg (a_n) jest geometryczny o ilorazie q = 8.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.