Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) dana jest wzorem S_n=(n²-25n)/4, gdzie n ≥ 1. Różnica ciągu arytmetycznego (b_n) jest równa 3/2 oraz jego piąty wyraz jest równy 8. Wyznacz sumę 17 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (c_n), wiedząc, że c_n=2b_n-a₈, gdzie n ≥ 1.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: 518 1/2
Rozwiążemy zadanie krok po kroku, wyznaczając kolejno potrzebne elementy.
## Krok 1: Wyznaczenie wyrazu a₈ z ciągu (a_n)
Suma n początkowych wyrazów: S_n = (n²-25n)/4
Wyraz a_n można wyznaczyć ze wzoru: a_n = S_n - S_(n-1) dla n ≥ 2
Obliczmy S₈ i S₇:
S₈ = (8² - 25 · 8)/4 = (64 - 200)/4 = -136/4 = -34
S₇ = (7² - 25 · 7)/4 = (49 - 175)/4 = -126/4 = -63/2
Zatem: a₈ = S₈ - S₇ = -34 - (-63/2) = -34 + 63/2 = -68/2 + 63/2 = -5/2
## Krok 2: Wyznaczenie pierwszego wyrazu ciągu (b_n)
Dano: r_b = 3/2 oraz b₅ = 8
Ze wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego: b₅ = b₁ + 4r_b
8 = b₁ + 4 · 3/2
8 = b₁ + 6
b₁ = 2
## Krok 3: Wyznaczenie parametrów ciągu (c_n)
Dano: c_n = 2b_n - a₈
Podstawmy a₈ = -5/2: c_n = 2b_n + 5/2
Dla ciągu (b_n): b_n = b₁ + (n-1)r_b = 2 + (n-1) · 3/2
Zatem: c_n = 2[2 + (n-1) · 3/2] + 5/2
c_n = 4 + (n-1) · 3 + 5/2 = 4 + 3n - 3 + 5/2 = 1 + 3n + 5/2 = 3n + 7/2
Pierwszy wyraz: c₁ = 3 · 1 + 7/2 = 3 + 7/2 = 13/2
Różnica: r_c = c_(n+1) - c_n = 3(n+1) + 7/2 - 3n - 7/2 = 3
## Krok 4: Obliczenie sumy S₁₇ dla ciągu (c_n)
Wzór na sumę ciągu arytmetycznego: S_n = n(c₁ + c_n)/2
Najpierw wyznaczmy c₁₇: c₁₇ = 3 · 17 + 7/2 = 51 + 7/2 = 109/2
Teraz suma: S₁₇ = 17(13/2 + 109/2)/2 = 17 · 122/2/2 = 17 · 61/2 = 1037/2 = 518 1/2
Odpowiedź: 518 1/2
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.