Którym wyrazem ciągu jest liczba i ile wyrazów ciągu jest ujemnych - zadania maturalne

Liczba $x$ jest wyrazem ciągu $(a_n)$, jeśli równanie $a_n = x$ ma rozwiązanie wśród liczb naturalnych $n \ge 1$, a to rozwiązanie jest numerem szukanego wyrazu. Żeby policzyć, ile wyrazów ciągu jest ujemnych, dodatnich albo mniejszych od danej liczby, rozwiązujesz nierówność (na przykład $a_n < 0$) jak zwykłą nierówność z niewiadomą $n$, a potem liczysz liczby naturalne $n \ge 1$, które należą do zbioru rozwiązań.

Oba typy zadań sprawdzają jedną rzecz: czy pamiętasz, że numer wyrazu jest liczbą naturalną. Wzór ciągu wygląda jak wzór funkcji, ale ciąg jest funkcją określoną tylko dla $n = 1, 2, 3, \ldots$, więc rozwiązanie $n = 7{,}5$ albo $n = -3$ nie daje żadnego wyrazu. W arkuszach CKE takie zadania pojawiały się w różnych kształtach: w sierpniu 2011 trzeba było policzyć wyrazy ujemne ciągu $a_n = 2n^2 - 9$, w maju 2019 wyznaczyć numer $k$, dla którego $a_k = -78$, w arkuszu z czerwca 2023 policzyć wyrazy mniejsze od $10$, a w maju 2024 ocenić, czy wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie. W tym wpisie masz jeden schemat na wszystkie te pytania i sześć zadań rozwiązanych krok po kroku.

Kiedy liczba jest wyrazem ciągu

Liczba jest wyrazem ciągu wtedy i tylko wtedy, gdy po przyrównaniu wzoru ogólnego $a_n$ do tej liczby dostajesz $n$, które jest liczbą naturalną co najmniej $1$. Jeśli rozwiązanie wychodzi ułamkiem, liczbą niewymierną, zerem albo liczbą ujemną, ta liczba nie jest wyrazem ciągu.

Weź ciąg $a_n = 2n + 1$. Czy $15$ jest jego wyrazem?

$2n + 1 = 15 \quad \Rightarrow \quad n = 7$

Tak, to siódmy wyraz: $a_7 = 15$. A czy $16$ jest wyrazem tego ciągu?

$2n + 1 = 16 \quad \Rightarrow \quad n = 7{,}5$

Nie, bo nie istnieje wyraz o numerze $7{,}5$. Wszystkie wyrazy tego ciągu to liczby nieparzyste $3, 5, 7, \ldots$, więc parzysta $16$ nie mogła się wśród nich znaleźć.

Przy wzorze liniowym, czyli w ciągu arytmetycznym, równanie ma zawsze najwyżej jedno rozwiązanie. Przy wzorze kwadratowym dostajesz równanie kwadratowe i zwykle jeden z pierwiastków odpada, bo jest ujemny. Przy ciągu geometrycznym porównujesz potęgi tej samej podstawy.

Jak policzyć, ile wyrazów ciągu jest ujemnych

Żeby policzyć wyrazy ujemne, rozwiązujesz nierówność $a_n < 0$ w liczbach rzeczywistych, a potem wypisujesz z przedziału rozwiązań liczby naturalne $n \ge 1$ i je liczysz. Tak samo liczysz wyrazy dodatnie ($a_n > 0$), mniejsze od danej liczby $M$ ($a_n < M$) albo należące do przedziału.

Schemat w czterech krokach:

1. 1.Zapisz warunek z treści jako nierówność z niewiadomą $n$.
2. 2.Rozwiąż ją tak, jakby $n$ było dowolną liczbą rzeczywistą. Przy wzorze kwadratowym to zwykła nierówność kwadratowa: miejsca zerowe, szkic paraboli, odczyt przedziału.
3. 3.Z przedziału rozwiązań wybierz liczby naturalne $n \ge 1$.
4. 4.Sprawdź wyrazy na granicy przedziału, podstawiając je do wzoru. To wyłapuje błąd przy nierówności ostrej i nieostrej.

Przykład na rozgrzewkę: ile wyrazów ujemnych ma ciąg $a_n = n^2 - 3n - 18$? Nierówność $n^2 - 3n - 18 < 0$ zapisujesz jako $(n - 6)(n + 3) < 0$, więc $n \in (-3, 6)$. Liczby naturalne dodatnie w tym przedziale to $1, 2, 3, 4, 5$, czyli pięć wyrazów. Kontrola: $a_5 = 25 - 15 - 18 = -8 < 0$, a $a_6 = 36 - 18 - 18 = 0$, więc szósty wyraz już ujemny nie jest.

Wzory

Wzór na numer wyrazu w ciągu arytmetycznym to przekształcony wzór ogólny, więc nie musisz go pamiętać osobno. Przydaje się, gdy pytanie brzmi "ile wyrazów ma skończony ciąg arytmetyczny": ostatni wyraz ma numer równy liczbie wszystkich wyrazów.

Pięć typów zadań i schemat dla każdego

Zanim zaczniesz liczyć, rozpoznaj, o co pyta zadanie. Każdy typ ma jedną operację:

• •"Czy liczba x jest wyrazem ciągu?" Rozwiąż równanie $a_n = x$ i sprawdź, czy wśród rozwiązań jest liczba naturalna $n \ge 1$.
• •"Którym wyrazem jest liczba x?" To samo równanie, a odpowiedzią jest znalezione $n$.
• •"Ile wyrazów jest ujemnych, dodatnich, mniejszych od M?" Rozwiąż nierówność i policz liczby naturalne dodatnie w zbiorze rozwiązań.
• •"Od którego wyrazu ciąg przekracza M?" Rozwiąż nierówność $a_n > M$ i weź najmniejszą liczbę naturalną, która ją spełnia.
• •"Ile wyrazów ma skończony ciąg?" Przyrównaj wzór ogólny do ostatniego wyrazu i wyznacz $n$.

Wynik dla ciągu arytmetycznego sprawdzisz w kalkulatorze: podaj pierwszy wyraz, różnicę i numer wyrazu, który wyszedł ci w rachunku. Dla ciągu z przykładu 1 wpisz $a_1 = -4$, $r = 3$ i $n = 36$, a dostaniesz $101$.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z arkuszy o numerach wyrazów i liczbie wyrazów spełniających warunek. Każde otwiera się na własnej stronie z rozwiązaniem krok po kroku. Szersze omówienie wzorów, sumy i monotoniczności znajdziesz we wpisie o ciągach na maturze, a wszystkie zadania z działu w bazie zadań CKE z ciągów i na stronie działu Ciągi.

• CKE PP treningoweZadanie 742 pkt
  Ile wyrazów ujemnych ma ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = n^2 - 2n - 24$ dla $n \ge 1$?
• Matura próbna kwiecień 2015Zadanie 121 pkt
  Liczby $1, 5, 501$ są odpowiednio pierwszym, drugim i ostatnim wyrazem skończonego ciągu arytmetycznego. Ile wyrazów ma ten ciąg?
• Matura próbna marzec 2012 (2)Zadanie 242 pkt
  Ciąg $(a_n)$ jest określony dla $n\ge 1$ wzorem $a_n=-n^2-4\sqrt{3}$ . Sprawdź którym wyrazem tego ciągu jest liczba $-3^2-(2+\sqrt{3})^2$.
• Matura próbna grudzień 2014Zadanie 221 pkt
  Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\frac{24-4n}{n}$ dla $n\ge 1$. Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa
• Matura próbna Operon listopad 2012Zadanie 51 pkt
  Dany jest ciąg $(a_n)$ o wyrazie ogólnym $a_n=-n^2+16$ dla $n\ge 1$. Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:
• Matura sierpień 2016Zadanie 314 pkt
  Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n=2016-3n$, dla $n\ge 1$. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Następny krok Losuj kolejne zadanie z ciągów

Najczęstsze pytania o wyrazy ciągu