Ciąg (a_n) jest określony dla n ≥ 1 wzorem a_n=-n²-4√(3) . Sprawdź którym wyrazem tego ciągu jest liczba -3²-(2+√(3))².
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: czwartym
Musimy sprawdzić, dla jakiego n zachodzi równość a_n = -3²-(2+√(3))².
Krok 1: Uprośćmy prawą stronę równania
Rozwijamy wyrażenie: -3²-(2+√(3))² = -9 - (2+√(3))²
Obliczamy (2+√(3))²: (2+√(3))² = 4 + 4√(3) + 3 = 7 + 4√(3)
Zatem: -9 - (7 + 4√(3)) = -9 - 7 - 4√(3) = -16 - 4√(3)
Krok 2: Przyrównujemy do wzoru ogólnego
Mamy a_n = -n² - 4√(3), więc szukamy n takiego, że: -n² - 4√(3) = -16 - 4√(3)
Krok 3: Rozwiązujemy równanie
Dodajemy 4√(3) do obu stron: -n² = -16
Mnożymy przez -1: n² = 16
Zatem: n = 4 lub n = -4
Krok 4: Wybieramy odpowiednie rozwiązanie
Ponieważ ciąg jest określony dla n ≥ 1, to n = 4.
Weryfikacja: a₄ = -4² - 4√(3) = -16 - 4√(3)
Odpowiedź: Liczba -3²-(2+√(3))² jest czwartym wyrazem ciągu (a_n).
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.