Prosta o równaniu y = x + 2 przecina okrąg o równaniu (x - 3)² + (y - 5)² = 25 w punktach A i B. Oblicz współrzędne punktów A i B oraz wyznacz równanie stycznej do danego okręgu przechodzącej przez jeden z tych punktów.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: y=-x+8-5√(2)
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2012-2-29.png]
## Krok 2: Znajdźmy punkty przecięcia prostej z okręgiem
Podstawiamy y = x + 2 do równania okręgu:
(x - 3)² + (y - 5)² = 25
(x - 3)² + (x + 2 - 5)² = 25
(x - 3)² + (x - 3)² = 25
2(x - 3)² = 25
(x - 3)² = 25/2
x - 3 = ± 5/√(2) = ± 5√(2)/2
x = 3 ± 5√(2)/2
## Krok 3: Obliczmy współrzędne punktów A i B
Dla x_A = 3 + 5√(2)/2:
y_A = x_A + 2 = 3 + 5√(2)/2 + 2 = 5 + 5√(2)/2
Dla x_B = 3 - 5√(2)/2:
y_B = x_B + 2 = 3 - 5√(2)/2 + 2 = 5 - 5√(2)/2
Punkty przecięcia: A = (3 + 5√(2)/2, 5 + 5√(2)/2), B = (3 - 5√(2)/2, 5 - 5√(2)/2)
## Krok 4: Równanie stycznej w punkcie B
Okrąg ma środek S = (3, 5) i promień r = 5.
Dla punktu B = (3 - 5√(2)/2, 5 - 5√(2)/2), wektor SB jest prostopadły do stycznej.
SB = (-5√(2)/2, -5√(2)/2)
Styczna jest prostopadła do promienia, więc jej współczynnik kierunkowy m_t spełnia:
m_(SB) = -5√(2)/2/(-5√(2)/2) = 1
m_t · m_(SB) = -1 m_t · 1 = -1 m_t = -1
## Krok 5: Zapiszmy równanie stycznej
Równanie stycznej przez punkt B o współczynniku kierunkowym m_t = -1:
y - y_B = -1(x - x_B)
y - (5 - 5√(2)/2) = -(x - (3 - 5√(2)/2))
y = -x + 3 - 5√(2)/2 + 5 - 5√(2)/2
y = -x + 8 - 5√(2)
Odpowiedź: - Punkty przecięcia: A = (3 + 5√(2)/2, 5 + 5√(2)/2), B = (3 - 5√(2)/2, 5 - 5√(2)/2) - Równanie stycznej: y = -x + 8 - 5√(2)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.