Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Wysokość SE ściany bocznej ADS jest jednocześnie wysokością ostrosłupa, a punkt E jest środkiem krawędzi AD (zobacz rysunek). Pole ściany ADS jest równe 12 cm 2 , a objętość ostrosłupa jest równa 48 cm 3 . Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej CS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Wynik zaokrąglij do 1° .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 31°
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2012-2-30.png]
Analiza sytuacji geometrycznej stanowi punkt wyjścia do obliczeń.
## Oznaczenia i analiza sytuacji
Niech bok kwadratu ABCD ma długość a, a wysokość ostrosłupa (czyli SE) ma długość h.
Ponieważ E jest środkiem AD i SE jest wysokością ostrosłupa, to SE ⊥ ABCD.
## Krok 2: Pole ściany ADS
Ściana ADS jest trójkątem o podstawie AD = a i wysokości SE = h (ponieważ SE jest wysokością tego trójkąta).
P_(ADS) = 1/2 · a · h = 12
Zatem: ah = 24
## Krok 3: Objętość ostrosłupa
Objętość ostrosłupa o podstawie kwadratowej: V = 1/3 · a² · h = 48
Zatem: a²h = 144
## Krok 4: Wyznaczenie a i h
Z równań ah = 24 i a²h = 144:
Dzieląc drugie przez pierwsze: a²h/ah = 144/24 a = 6 cm
Podstawiając do pierwszego równania: 6h = 24 h = 4 cm
## Krok 5: Układ współrzędnych
Przyjmuje się układ współrzędnych z E jako początkiem: - E = (0, 0, 0) - A = (-3, 0, 0) - D = (3, 0, 0) - B = (-3, 6, 0) - C = (3, 6, 0) - S = (0, 0, 4)
## Krok 6: Kąt nachylenia krawędzi CS
Kąt nachylenia krawędzi CS do płaszczyzny podstawy to kąt α w trójkącie prostokątnym, gdzie: - przeciwprostokątna to CS - przyprostokątne to rzut CS na podstawę (czyli CE) i wysokość h
Oblicza się CE: CE = √((3-0)² + (6-0)² + (0-0)²) = √(9 + 36) = √(45) = 3√(5) cm
Oblicza się CS: CS = √((3-0)² + (6-0)² + (0-4)²) = √(9 + 36 + 16) = √(61) cm
## Krok 7: Wyznaczenie kąta
Kąt nachylenia α spełnia: sin α= h/CS = 4/√(61)
lub równoważnie: tan α= h/CE = 4/(3√(5)) = 4√(5)/15
Oblicza się: α= arctg(4√(5)/15) = arctg(4 · 2.236.../15) = arctg(0.5963...)
α ≈ 30.8°
Zaokrąglając do 1°:
α= 31°
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.